Preguntas sobre un truco para resolver ecuaciones cuadráticas rápidamente

Question

Acabo de ver un vídeo que enseña un truco para resolver más rápido algunas ecuaciones cuadráticas:

Supongamos que tenemos $3x^2-152x+100=0$ Se necesita mucho tiempo para resolverlo encontrando el discriminante porque tenemos que calcular $152^2$ y así sucesivamente. dividimos $3x^2$ por $3$ y multiplicar $100$ por $3$ y obtenemos: $x^2-152x+300=0$ podemos resolverlo fácilmente factorizando $(x-150)(x-2)=0$ entonces dividimos las raíces por $3$ por lo que las raíces de cuadrática original son $\frac{150}3$ y $\frac23$

Es la primera vez que veo este truco. ¿Es un método conocido?

¿Y cómo podemos demostrar matemáticamente que este método funciona?

Answer 1

Buen truco, nunca lo había visto.

$$ax^2+bx+c=0\iff a^2x^2+abx+ac=0\iff (ax)^2+b(ax)+ac=0.$$

Así que se resuelve para $ax$ y dividir por $a$ .

---

Se puede combinar con otro truco que me gusta, cuando $b$ es par o un factor $2$ puede arrancarse (es una situación frecuente):

$$x^2+2bx+c=0\iff x=-b\pm\sqrt{b^2-c}.$$

Answer 2

Claro que se puede demostrar que su método es correcto.

Consideremos la cuadrática - $ax^{2} +bx+c=0$ donde $a$ se supone que es distinto de cero. Sus raíces vienen dadas por la fórmula cuadrática \begin{equation*} \frac{-b\pm \sqrt{b^{2} -4ac}}{2a} \end{equation*} Y por tu método, la cuadrática cambia a $x^{2}+bx+ac=0$ . Sus raíces son - \begin{equation*} \frac{-b\pm \sqrt{b^{2} -4ac}}{2} \end{equation*} Se propone dividir las raíces por $a$ por lo que sólo significa que son las raíces de la ecuación original.

Buen truco, pero ¿es realmente factible?

Answer 3

Hace tiempo que conozco a un primo de este truco, aunque no estoy seguro de dónde. Esencialmente como en el método de factorización, se multiplica $3\times100$ y dividir el producto $300$ en dos para que la suma sea $-152$ así $$3x^2-150x - 2x +100 = 3x(x-50)-2(x-50)=(3x-2)(x-50)$$

---

En general, la lógica es la siguiente $$(px+q)(rx+s) = prx^2+(ps+qr)x+qs$$ por lo que si hay una buena factorización de la cuadrática, el coeficiente del término medio debe ser una suma de dos cuyo producto es $pqrs$ . A continuación, se consideran las posibles formas de repartirlo.

Answer 4

Este truco es correcto. Pero, por desgracia, no puedo llamarlo "bonito". Voy a tratar de mostrar la razón de esto.

---

Como primera alternativa, puedes probar fácilmente este truco utilizando la fórmula de Vieta.

$$ax^2+bx+c=0$$

$$x_1+x_2=-\frac ba, ~ x_1x_2=\frac ca$$

Entonces,

$$y^2+by+ac=0$$

$$y_1+y_2=-b, ~ y_1y_2=ac$$

Poner $$x_1=\frac {y_1}{a},~ x_2=\frac{y_2}{a}$$

Lo tendrás,

$$x_1+x_2=-\frac ba, ~ x_1x_2=\frac ca$$

lo cual es correcto.

---

Este truco no me ha resultado útil específicamente para esta ecuación por la siguiente razón:

Observación

La aplicación de este truco se basa en la siguiente observación:

$$150+2=152, ~ 150\times 2=300.$$

¿Verdad que sí?

Pero este truco ya funciona en la ecuación original:

$$\begin{align}3x^2-152x+100=0\end{align}$$

$$\iff 3x^2-150x-2x+100=0.$$

También es fácil de observar:

$$\frac{150}{3}=50, ~ \frac{100}{2}=50$$

Este hecho equivale a observar que

$$150+2=152, ~ 150\times 2=300.$$

Finalmente tenemos,

$$\begin{align}3x^2-152x+100=0 &\iff 3x^2-150x-2x+100 \\ &\iff 3x(x-50)-2(x-50) \\ &\iff (3x-2)(x-50).\end{align}$$

¿Cuál es fácil? Decídete.

---

Además, no te olvides del método "medio discriminante".

Si $$ax^2+2kx+c=0, a≠0$$ entonces

$$x_{1,2}=\dfrac{-k±\sqrt{k^2-ac}}{a}.$$

Answer 5

Sea la ecuación original $ax^2+bx+c=0$ .

Dividamos el grado $2$ término por $a$ y multiplicar el término constante por $a$ . Entonces obtenemos $x^2+bx+ac=0$ .

Las raíces de esto son $$x={{-b±\sqrt{b^2-4ac}}\over 2}$$ Dividiendo las raíces por $a$ obtenemos $${x\over a}={{-b±\sqrt{b^2-4ac}}\over 2a}$$ que son las raíces de la ecuación original. Por lo tanto demostrado.