Suma de un logaritmo al cubo de n.

Question

Entiendo que por la propiedad de

$ \log(a) + \log(b) = \log(ab) $

podemos deducir

$\sum_{i=0}^n \log(i) = \log(n!) $

pero ¿cómo calcularía

$\sum_{j=0}^{n^2} \log(j)^3 $ o $\sum_{j=0}^{n^2} \log(j)^3 - 1 $ ?

Answer 1

Nótese que no se trata de una solución al problema exacto, sino a un problema similar.

Se puede resolver la suma $\sum_{j=1}^n\log^2(j)$ .

Sea $f(n)=\sum_{j=1}^n\log^2(j)$ siempre que $n\in\mathbb N$ para que tengamos $f(n)=f(n-1)+\log^2(n)$

$$f(n)=f(n-1)+\log^2(n)$$

$$f'(n)=f'(n-1)+2\frac{\log(n)}n$$

$$f'(n)=f'(n-2)+2\left(\frac{\log(n-1)}{n-1}+\frac{\log(n)}n\right)$$

$$=f'(n-3)+2\left(\frac{\log(n-2)}{n-2}+\frac{\log(n-1)}{n-1}+\frac{\log(n)}n\right)\\\vdots\\f'(n)=f'(0)+2\sum_{k=1}^n\frac{\log(k)}k$$

$$f'(n)=f'(0)-2\gamma_1+2\gamma_1^\star(n+1)$$

donde $\gamma_1$ es un Constante de Stieltjes y $\gamma_1^\star(n)$ es el constante de Stieltjes generalizada .

Así,

$$f(n)=\int_0^nf'(0)-2\gamma_1+2\gamma_1^\star(x+1)dx$$

$$f(n)=f'(0)n-2\gamma_1n+\int_0^n\gamma_1^\star(x+1)dx$$

Y si dejamos que $n=1$ ,

$$0=f(1)=f'(0)-2\gamma_1+\int_0^1\gamma_1^\star(x+1)dx$$

$$f'(0)=2\gamma_1-\int_0^1\gamma_1^\star(x+1)dx=c_1$$

Llámalo $c_1$ para simplificar.

$$f(n)=\sum_{j=1}^n\log^2(j)=(c_1-2\gamma_1)n+\int_0^n\gamma_1^\star(x+1)dx$$