En "Análisis real y complejo", una cadena se define como "una especie de suma formal de caminos". Dada una familia $\lbrace\gamma_1,\ldots,\gamma_n\rbrace$ de caminos, la cadena $\Gamma$ correspondiente a estos caminos es "una especie de suma formal $\Gamma=\gamma_1\dot+\cdots\dot+\,\gamma_n$ " y la integral de línea de ésta se define como sigue: $$ \int_\Gamma{f\,\mathrm{d}z}:=\int_{\gamma_1}{f\,\mathrm{d}z}\,+\cdots+\int_{\gamma_n}{f\,\mathrm{d}z} $$ No me gustan estas pseudodefiniciones, ya que me dicen lo que puedo hacer con un objeto, pero no lo que es en realidad. Entonces, ¿qué es realmente una cadena? Gracias
Respuesta
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Esto está más en el territorio del álgebra abstracta que en el del análisis complejo (especialmente no la parte compleja; la definición de integral de trayectoria no depende realmente de la estructura compleja), pero veo dos (o tres) maneras de formalizarlo adecuadamente.
Una forma es seguir la sugerencia de Willie Wong, y tomar por cadenas el monoide libre con una base de (suficientemente bien comportado, por ejemplo $C^1$ ), es decir, a $\Gamma$ es una cadena si es una secuencia finita de caminos, y añadimos cadenas añadiendo una al final de otra; para el resto de este post, llamaremos a este monoide $Ch_1$
Otra, estrechamente relacionada, es tomar en su lugar el monoide libre conmutativo definido por los caminos agradables -- esto es lo mismo que arriba, excepto que olvidamos el orden de la secuencia. Esta es la lectura más literal de la expresión "suma formal": una suma formal de cosas es, para mí, el monoide conmutativo generado por ellas. Si lo llamamos $Ch_2$ podemos ver que esto es sólo $Ch_1$ dividido por la relación $\Gamma_1\Gamma_2=\Gamma_2\Gamma_1$ .
Una tercera forma de interpretarlo, bastante más complicada, es tener en cuenta lo que realmente do con las cadenas: nos integramos a lo largo de ellas. Además, si nos restringimos a funciones agradables (por ejemplo, globalmente continuas), podemos ver que para dos cadenas muy diferentes $\Gamma,\Gamma'$ tenemos $\int_\Gamma$ siendo lo mismo que $\int_{\Gamma'}$ (como funcionales lineales en el espacio de funciones continuas), por ejemplo si $\Gamma'$ no es más que una subdivisión de $\Gamma$ .
Una forma de formalizarlo es simplemente equiparar una cadena $\Gamma$ con el operador de integración $\int_\Gamma$ , viendo efectivamente las cadenas sólo un subgrupo $Ch_3$ del grupo aditivo del dual del espacio de funciones continuas, $C({\bf R}^n)^*$ (o $C({\bf C}^n)^*$ ). Esto significa que, en particular, vemos que la cadena formada por un camino $\gamma$ y el camino $-\gamma$ obtenida invirtiendo la orientación en $\gamma$ se equipara a un camino vacío - esto se debe a que para una función continua $f$ tenemos que $\int_\gamma f+\int_{-\gamma} f=0$ .
Aunque la referencia al dual de funciones continuas puede parecer bastante técnica, creo que es la forma intuitiva de ver las cadenas. Creo que de ahí viene la convención de escribir $-\gamma$ para un camino invertido viene en primer lugar.
Tiene una pequeña pega: si integramos funciones que no son globalmente continuas, por ejemplo las que tienen singularidades, como $z^{-1}$ en ${\bf C}$ tendremos pares de cadenas que son equivalentes, pero tales que podemos integrar a lo largo de una, pero no de la otra, por ejemplo si tomamos $\gamma$ el intervalo comprendido entre $-1$ a $1$ en el plano complejo, entonces la ecuación $\int_\gamma z^{-1}+\int_{-\gamma} z^{-1}=0$ no tiene sentido. Esto no era un problema en absoluto en el caso de $Ch_1,Ch_2$ ya que en esos nunca cancelamos realmente ningún término.
Pero no es tanto problema en este caso, ya que las cadenas equivalentes para las que la integral está bien definida integrarán una función continua de forma coherente, aunque no esté definida globalmente.
