Existencia de un ordinal $\beta$ tal que $\omega_1^\beta = \beta$

Question

Estoy probando la siguiente pregunta para repasar para un examen de teoría de conjuntos:

Sea $\omega_1$ sea el primer ordinal incontable. Demostrar la existencia de un ordinal $\beta$ tal que $\omega_1^\beta = \beta$

La pista que me dan es que si $\alpha \le \beta$ entonces $\omega_1^\alpha \le \omega_1^\beta$ y para cualquier $\alpha$ , $\omega_1^\alpha < \omega_1^{\alpha+}$ donde $\alpha+$ es el ordinal sucesor de $\alpha$ .

La verdad es que no sé cómo hacerlo; agradecería cualquier indicación en la dirección correcta.

Answer 1

Puede utilizar el siguiente hecho: si $f: \text{ORD} \rightarrow \text{ORD} $ es una "función" (es decir, asigna a cada ordinal un ordinal único) que es estrictamente creciente y continua (es decir, para cada ordinal límite $\lambda$ tenemos $f(\lambda) = \sup(\{f(\gamma) \mid \gamma < \lambda\})$ entonces $f$ tiene un punto fijo: existe un ordinal $\alpha$ tal que $f(\alpha) = \alpha$ . La función $f(\alpha) = \omega_1^{\alpha}$ se ve que es estrictamente creciente por tu indirecta (más un pequeño argumento) y además es continua (por definición de exponenciación por inducción transfinita).

La demostración del hecho citado es un ejercicio estándar de aritmética ordinal y supongo que se puede encontrar en la mayoría de los textos.