Encontrar la parametrización de una curva para un problema integral de línea

Question

Tengo que calcular el trabajo de una partícula que se desplaza a lo largo de una curva, dado el siguiente campo vectorial:

$F(x, y, z) = (2z-1, 0, 2y)$

y donde la curva es la intersección entre:

$s1: z = x^2 + y^2$ y $s2: 4x^2 + 4y^2 + 1 = 4x + 4y$

utilizando la definición de integrales de línea.

Lo que me complica de este ejercicio es parametrizar la curva, ¿alguna ayuda?

Answer 1

Hay muchas formas de parametrizar una curva determinada, pero aquí voy a poner un ejemplo. La ecuación $4x^2 + 4y^2 + 1 = 4x + 4y$ puede reordenarse: $$\begin{align*} 4x^2 - 4x + 1 = -4y^2 + 4y -1 + 1 &\iff (2x-1)^2 = -(2y-1)^2 + 1 \\ &\iff (2x-1)^2 + (2y-1)^2 = 1. \end{align*}$$ Sabiendo esto, pongamos $2x - 1 = \cos(t)$ y $2y-1 = \sin(t)$ donde $t$ oscila entre $0$ à $2\pi$ . Utilizando la ecuación $z = x^2 + y^2$ también podemos encontrar la parametrización de $z$ : $$z = \left( \frac{\cos(t) + 1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sin(t) + 1}{2} \right)^2 = \frac{\sin(t)}{2} + \frac{\cos(t)}{2} + \frac{3}{4}.$$