es $\sqrt{x}$ ¿siempre positivo?

Question

Hace poco vi a alguien decir:

$\sqrt{x}$ es, por definición, positivo

Lo que no me sentó bien, como siempre decimos $\pm$ para cualquier raíz cuadrada.

Entonces me dio por pensar que si, por definición, el símbolo $\sqrt{x}$ significaba la raíz positiva o negativa de x, entonces la $\pm$ sería redundante.

Entonces, ¿han definido los matemáticos el símbolo de la raíz sólo para incluir la raíz positiva, necesitando así el $\pm$ ¿Símbolo?

EDIT: Esta pregunta es diferente de la de aquí: ¿Confusión de raíz cuadrada? porque mi pregunta se centra principalmente en el significado/convención del símbolo de la raíz cuadrada más que en el tema de que haya dos soluciones para $x^2=4$

Answer 1

Explicaré la diferencia con un ejemplo.

La ecuación $x^2 = 4$ tiene soluciones $x = \pm 2$ . Sin embargo, si tuviera que decir $\sqrt{4}$ sería $2$ y no $-2$ .

También, $\sqrt{x}$ es no negativo por definición.

Answer 2

Es correcto que si miramos, digamos, $4$ entonces ambos $2$ y $-2$ son raíces cuadradas de $4$ y, en general, para cualquier $x$ que $x$ tiene dos raíces cuadradas, donde cada una es el negativo de la otra. Pero en el caso de $4$ por la segunda cosa que mencioné, si sabemos $2$ es una raíz cuadrada de $4$ entonces sabemos inmediatamente que $-2$ también lo es.

Utilizamos $\sqrt{x}$ de dos maneras. A veces, en el sentido que usted ha mencionado, queremos utilizar $\sqrt{x}$ para referirnos a la familia de todos los números, llamémoslos $t$ tal que $t^{2} = x$ . Es decir, lo utilizamos para referirnos a una colección de (dos) números que satisfacen una condición determinada.

Sin embargo, también observamos que si tenemos una raíz, podemos determinar fácilmente la otra tomando el negativo. Así que, en cierto sentido, sólo necesitamos una de ellas para "comunicar" el conjunto de soluciones. Así que a menudo elegimos un "representante" conveniente, y a menudo elegimos el positivo. En este caso, utilizamos $\sqrt{x}$ como una función que escupe la "semilla" del conjunto de soluciones para $t^{2} = x$ .

Si le molesta el uso de "por definición", sustitúyalo por "por convención".