Problemas para aislar una variable

Question

Durante la resolución de un problema de cálculo, me encontré con el siguiente problema. Me da vergüenza admitir que no estoy seguro de cómo proceder para resolver para $x$ .

$$e^x=6-x$$

He intentado tomar el logaritmo de cada lado dando como resultado $x=\ln(6-x)$ donde $x<6$ . Pero esto todavía me deja en una posición en la que tengo problemas para aislar $x$ . Se agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

La buena noticia es que no eres tú es el problema. No puedes aislar la variable. La mala noticia es que no puedes aislar la variable.

Pero tenga en cuenta $e^x$ aumenta. Y $x-6$ disminuye. Así que (al menos en este caso) las gráficas se cruzan y habrá exactamente un $x$ donde es verdad.

Buenas noticias conozca hay una solución. Mala noticia: no hay forma algebraica de expresarla.

Pero hay muchas funciones que no podemos expresar algebraicamente, así que nos inventamos una función como lista de valores para describirla. Ejemplo $\sin x$ es "la $y$ valor de un punto del círculo unitario que tiene un ángulo interior de $x$ ". No hay forma de algebraicamente resolverlo, pero sabemos que tiene sentido.

Del mismo modo, sabemos que para cualquier $x$ existe un único $y$ para que $ye^y = x$ . No podemos resolverlo algebraicamente pero sabemos que $ye^y$ es creciente y tiene como límites el infinito negativo y el infinito positivo por lo que sabemos que $ye^y$ pasa por cada punto exactamente una vez por lo que hay un único $y$ para que $ye^y = x$ .

Así que llamemos a esta función la función Lambert $W(x)=y \iff ye^y = x$ .

Con esta función en nuestro arsenal:

Queremos conseguir $\text{something about x}e^{\text{something about x}}= k$ así que

$\text{something about x} = W(k)$ . y luego podemos deshacer $\text{something about x}$ .

$e^x = 6-x$

$\frac {e^x}{6-x} = 1$

$\frac 1{e^{-x}(6-x)} = 1$

$e^{-x}(6-x) = 1$

$e^{6-x-6}(6-x) = 1$

$e^{-6}*(6-x)e^{6-x}= 1$

$(6-x)e^{6-x} = e^{6}$

$6-x = W(e^{6})$

$x = 6-W(e^{-6})$

....

Así que $W(e^{6})$ es el valor $y$ donde $ye^y = e^{6}$ que sólo podemos aproximar. No podemos resolver algebraicamente.

Answer 2

Puedes escribir la ecuación en forma de Lambert: $xe^x = c$ con sustitución y obtener una respuesta en términos de $W_0(c)$ donde ${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

He aquí el proceso de sustitución y obtención de la respuesta:

$$e^x = 6-x$$

$$1= e^{-x}(6-x)$$

Ahora dejemos que $u = 6-x$ y $x = 6-u$ .

$$1=e^{u-6}u$$

$$e^uu = e^6$$

$\therefore u = W_0(e^6)$

$x= 6-W_0(e^6)$

Según Wolfram Alpha la suma no converge y, por tanto, la solución no existe.

Answer 3

Sin duda, la solución en términos de la función de Lambert es la única forma de obtener una fórmula explícita.

Si no lo utiliza, sólo funcionarán los métodos numéricos. Graficando la función, se ve que la raíz está cerca de $\frac 32$ . Así, se podría utilizar el método de Newton y obtener los siguientes iterados $$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.500000000 \\ 1 & 1.503340381 \\ 2 & 1.503335827 \end{array} \right)$$

Otra forma de hacerlo es que Taylor amplíe $$e^x+x-6=\left(e^{3/2}-\frac{9}{2}\right)+\left(1+e^{3/2}\right) \left(x-\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{2} e^{3/2} \left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{6} e^{3/2} \left(x-\frac{3}{2}\right)^3+\frac{1}{24} e^{3/2} \left(x-\frac{3}{2}\right)^4+O\left(\left(x-\frac{3}{2}\right)^5\right)$$ y utilizar la reversión en serie para obtener $$x=\frac{3}{2}+\frac{t}{1+e^{3/2}}-\frac{e^{3/2} t^2}{2 \left(1+e^{3/2}\right)^3}+\frac{\left(2 e^3-e^{3/2}\right) t^3}{6 \left(1+e^{3/2}\right)^5}+\frac{\left(-e^{3/2}+8 e^3-6 e^{9/2}\right) t^4}{24 \left(1+e^{3/2}\right)^7}+O\left(t^5\right)$$ donde $t=y-e^{3/2}+\frac{9}{2}$ .

Ahora, haz $y=0$ y obtendrá el mismo resultado (al menos para diez cifras significativas).