$\mathbb{Q}G$ es un álgebra de grupo sobre $\mathbb{Q}$ donde $G$ es un grupo cíclico de orden $6$ . Entonces se puede escribir como suma directa de $r$ distintos tipos de isomorfismo del módulo irreducible, ya que es semisimple. $\mathbb{Q}G \cong \mathbb{Q}[x]/<x^{6} -1 >$ . $ x^{6} - 1 $ tiene cuatro factores irreducibles $ x-1 , x+1 , x^{2}+x+1 , x^{2}-x+1 $ . Entonces debe ser $ r= 4 $ ? ¿Cuáles son sus componentes irreducibles?
Respuesta
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Tenga en cuenta que $\mathbb QG\simeq \mathbb Q[x]/(x^6-1)$ y $$x^6-1 = (x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1)$$ y es fácil demostrar que la factorización es final sobre $\mathbb Q$ . Así por CRT, $r=4$ y $\mathbb QG$ es isomorfo a $$\mathbb Q[x]/(x-1)\oplus \mathbb Q[x]/(x+1)\oplus \mathbb Q[x]/(x^2+x+1)\oplus\mathbb Q[x]/(x^2-x+1)$$
