Prueba de que si $x$ es un punto de acumulación, entonces $B(x,r)\cap A$ tiene infinitos puntos

Question

Sea $(M,d)$ sea un espacio métrico, donde $A\subset M$ . Si $x$ es un punto de acumulación de $A$ por definición $\forall r > 0,\; B(x,r)\setminus \{x\}\cap A \neq \emptyset$ Así que $\forall r > 0,\; B(x,r)\cap A \neq \emptyset$ . ¿Alguna pista?

Answer 1

Sea $A \subseteq M$ y que $x \in A$ sea un punto de acumulación de $A$ es decir para todo $r>0$ $B_r(x) \cap A \neq \emptyset$ . Sea $r_1 = 1$ . A continuación, elija $x_1 \in B_r(x) \cap A$ . Construimos una secuencia infinita de elementos de $A$ inductivamente. Supongamos $x_1, x_2, \ldots, x_k$ han sido elegidos en $A$ donde cada $x_i$ para $1 \leq i \leq k$ son distintos. Ahora dejemos que $r = \min\{d(x_1,x),d(x_2,x),\ldots,d(x_k,x)\}/2$ . Ahora dejemos que $x_{k+1} \in B_r(x)$ . Ahora $x_{k+1}$ es distinta de $x_1,x_2, \ldots,x_k$ . Por lo tanto, obtenemos un mapeo $\mathbb{N} \to A$ , $k \mapsto x_k$ . Esto es inyectivo, y hemos terminado.

Obsérvese también que si tomamos $r=\min\{\frac{1}{k+1}, d(x_1,x), \ldots,d(x_k,x)\}/2$ entonces obtenemos que $x_k \to x$ gratis.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Supongamos que $r>0$ y supongamos $B(x,r)\setminus\{x\}\cap A = \{x_1,\dots,x_n\}$ (No es vacío porque $x$ es un punto de acumulación). Elija $r'=\min\left\{\frac{d(x,x_i)}{2}\mid i=1\dots n\right\}$ . Entonces existe $x' \in B(x,r')\setminus\{x\}\cap A$ . Pero $B(x,r')\subset B(x,r)$ Así que $x'=x_i$ para uno $i$ . Eso es una contradicción.

Answer 3

He aquí una pista:

Elija $r_1=\frac{1}{2^1}$ y $x_1 \in B(x,r_1)$ . Ahora dejemos que $r_2 = \min(\frac{1}{2}d(x,x_1), \frac{1}{2^2})$ y elige $x_2 \in B(x,r_2)$ . Continúa el proceso. ¿Qué puede decir sobre $r_k$ y por tanto sobre $x_k$ ?