Resolución de la ecuación diferencial $y''=y'^2+1$

Question

Quisiera ayuda para resolver la siguiente ecuación diferencial.

$$y''=y'^2+1$$

Intenté subsitir $p=y'$ y llegó a $\frac{1}{2}\ln|p^2+1|=\frac{1}{2}\ln|y|+\ln|c|$

pero no sé cómo continuar y tal vez cometí un error.

¿alguna idea?

Answer 1

$$y''=y'^{ 2 }+1\\ { y }'=p\left( y \right) ,y''=pp'\\ \\ p{ p }'={ p }^{ 2 }+1\\ \int { \frac { pdp }{ { p }^{ 2 }+1 } } =\int { dy } \\ \frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { d\left( { p }^{ 2 }+1 \right) }{ { p }^{ 2 }+1 } } =y+{ C }_{ 1 }\\ \ln { \left( { p }^{ 2 }+1 \right) =2\left( y+{ C }_{ 1 } \right) } \\ { p }^{ 2 }={ e }^{ 2\left( y+{ C }_{ 1 } \right) }-1\\ p=\sqrt { { e }^{ 2\left( y+{ C }_{ 1 } \right) }-1 } \\ \frac { dy }{ dx } =\sqrt { { e }^{ 2\left( y+{ C }_{ 1 } \right) }-1 } \\ \int { \frac { dy }{ \sqrt { { e }^{ 2\left( y+{ C }_{ 1 } \right) }-1 } } = } \int { dx } \\ \arctan { \left( \sqrt { { e }^{ 2\left( y+{ C }_{ 1 } \right) }-1 } \right) } =x+{ C }_{ 2 }\\ \\ \\ y=\frac { 1 }{ 2 } \ln { \left( \tan ^{ 2 }{ \left( x+{ C }_{ 2 } \right) } +1 \right) } +{ C }_{ 1 }$$ o $$y=-\ln { \left( \cos { \left( x+{ C }_{ 2 } \right) } \right) + } { C }_{ 1 }$$

Answer 2

Con $p=\frac{dy}{dx}$ la ecuación se convierte en $$\frac{dp}{1+p^2}=dx$$ entonces $$ \arctan(p)=x+C_1$$ o $$ dy=\tan(x+C_1)dx$$ y así $$y=-\ln(\cos(x+C_1))+C_2$$ .

Answer 3

Usted tiene un enfoque fructífero y ya ha obtenido buenas indicaciones de los demás los detalles de donde salió mal. Sólo quiero añadir que el uso de $\ln$ no es tan malo, de hecho podría ayudar a entender el origen de $\arctan(x)$ para utilizar la factorización

$$\frac{1}{a^2+x^2} = \frac{1}{x-ai}\cdot \frac{1}{x+ai}$$

La descomposición fraccionaria y la integración de los términos dan una suma de $\ln(x)$ que en realidad son lo que $\arctan$ a menudo se define como para argumentos complejos.

En cálculo sólo se aprenden derivadas de $\ln$ y $\arctan$ como si fueran bestias completamente diferentes.