Encontrar números reales no triviales que satisfagan las tres: $\sum_{i=1}^{n}a_i=0,\sum_{i=1}^{n}{a_i}^3=0$ y $\sum_{i=1}^{n}\lvert a_i\rvert=1.$

Question

Hace poco se planteó una pregunta en este sitio:

Encontrar límites en $\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} {a_i} ^5\ $ si $\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i = 0,\ \sum_{i=1}^{n} {a_i}^3 = 0\ $ y $\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \lvert a_i \rvert = 1.$

A continuación le pedí un ejemplo de $a_i$ que satisfacen las tres condiciones de la pregunta, y el usuario dio correctamente el ejemplo: $a_1 = -0.5,\ a_2 = 0.5 $ y luego borró la pregunta. Ahora bien, los únicos otros ejemplos que se me ocurren que cumplen las tres condiciones son $\left( \underbrace{\frac{-1}{2n},\ \frac{-1}{2n},\ \ldots,\ \frac{-1}{2n}}_{n\ \text{times}},\ \underbrace{\frac{1}{2n},\ \frac{1}{2n},\ \ldots,\ \frac{1}{2n}}_{n\ \text{times}} \right).\ $ Esto funciona para cualquier $\ n\in\mathbb{N}.$

Mi pregunta es:

¿Hay algún otro ejemplo que cumpla las tres condiciones?

He encontrado algunos ejemplos que me convencen de que hay números que satisfacen $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {a_i}^3 = 0\ $ y $\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \lvert a_i \rvert = 1,\ $ por ejemplo $\ 0.40,\ -0.375, -0.225\ $ está lo suficientemente cerca como para convencerme. Sin embargo, estos no se acercan a satisfacer la condición $\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i = 0.$

Del mismo modo, hay muchos números que satisfacen $\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i = 0\ $ y $\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \lvert a_i \rvert = 1:\ $ Los términos positivos deben sumar $0.5$ y los términos negativos deben sumar $-0.5,$ pero aparte de esto no hay restricciones.

Y como ejemplo $\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} {a_i}^3 = 0\ $ y $\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i = 0,\ $ hay $\left( \underbrace{\frac{-1}{2n},\ \frac{-1}{2n},\ \ldots,\ \frac{-1}{2n}}_{n\ \text{times}},\ \underbrace{\frac{1}{2n},\ \frac{1}{2n},\ \ldots,\ \frac{1}{2n}}_{n\ \text{times}} \right),$ pero seguro que también hay otros ejemplos. Por ejemplo, $(-0.2,-0.3, 0.5)$ no funciona porque ${0.5}^3 > \vert {-0.2}^3 + {-0.3}^3\vert,\ $ sin embargo podemos dividir el $0.5$ en tres (o más) números positivos $a_i, i=3,\ldots, n,\ $ tal que $ \displaystyle\sum_{i=3}^{n} a_i = 0.5\ $ donde $n\geq 5.$ Desde $\ \displaystyle\sum_{i=3}^{n} {a_i}^3\ $ tiene un valor mínimo $\ n \left( \frac{0.5}{n} \right)^3\ $ (creo), y debido a la continuidad de la función multivariable $\ \displaystyle\sum_{i=3}^{n} {a_i}^3,\ $ existen claramente ejemplos tales que $ \vert {-0.2}^3 + {-0.3}^3\vert = \displaystyle\sum_{i=3}^{n} {a_i}^3.$

Answer 1

Podemos demostrar que hay infinitos ejemplos "no triviales".

Elija primero un número entero $m \ge 4$ y números reales positivos distintos $b_1, b_2, \ldots, b_m$ . Para un $d \in \Bbb R\setminus \{ 0 \}$ tiene la ecuación polinómica $$ (x-b_1)(x-b_2)\cdots (x-b_m) - d = 0 $$ $m$ soluciones reales positivas distintas $c_1, c_2, \ldots, c_m$ que son todos diferentes del $b_j$ . De las identidades de Newton se deduce que $$ \sum_{j=1}^m b_j = \sum_{j=1}^m c_j \, , \quad \sum_{j=1}^m b_j^3 = \sum_{j=1}^m c_j^3 \, . $$ Entonces $$ (a_1, \ldots, a_{2n}) = (-b_1, \ldots, -b_m, c_1 \ldots, c_m) $$ satisface $\sum_{j=1}^{2n} a_j = 0$ y $\sum_{j=1}^{2n} a_j^3 = 0$ . La condición $\sum_{j=1}^{2n} |a_j| = 1$ puede obtenerse mediante escalado.

Si elegimos $b_1 = 0$ en la construcción anterior, entonces con una elección adecuada del signo de $d$ El $c_j$ siguen siendo positivos, que da ejemplos con impar $n = 2m-1$ .

Ejemplo: $x(x-1)(x-2)(x-3)+ 0.2 =0$ tiene las soluciones $$ (c_1, c_2, c_3, c_4) \approx (0.0356137, 0.9037007, 2.0962993,2.9643863) $$ para que $(a_1, \ldots, a_7) = (-1, -2, -3, c_1, c_2, c_3, c_4)$ satisfacer $\sum_{j=1}^{7} a_j = 0$ y $\sum_{j=1}^{7} a_j^3 = 0$ .