Resolución de los parámetros de la distribución log-logística a partir de momentos

Question

Supongamos que tenemos una variable aleatoria log-logística $X$ con función de densidad de probabilidad:

$$f(x)=\frac{(\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1}}{(1+(x/\alpha)^{\beta})^{2}}$$

donde $\alpha>0$ , $\beta>0$ y apoyo en $x\in[0,\infty)$ .

Esta variable aleatoria tiene media y varianza definidas como sigue:

$$\mathbb{E}[X]=\frac{\alpha(\pi/\beta)}{\text{sin}(\pi/\beta)}$$ $$\text{Var}[X]=\alpha^{2}\bigg[\frac{2(\pi/\beta)}{\text{sin}(2(\pi/\beta))}-\frac{(\pi/\beta)^{2}}{\text{sin}^{2}(\pi/\beta)}\bigg]$$

o, de forma más general, con $k$ momento bruto definido para $k<\beta$ : $$\mathbb{E}[X^{k}]=\alpha^{k}\frac{k(\pi/\beta)}{\text{sin}(k\pi/\beta)}$$

Ahora, ¿hay una manera inteligente de estimar los parámetros $(\alpha,\beta)$ tal que proporcione una media y una varianza deseadas?

Por lo que sé, podemos llegar a una ecuación en función de cualquiera de los parámetros, pero resolverla requiere algún tipo de optimización. Tengo curiosidad por saber si hay algún método para evitar dicha optimización.

Answer 1

Tenga en cuenta que $E(X^k)$ tiene $\alpha$ presente sólo como término multiplicativo en $\alpha^k$ .

En consecuencia $E(X^a)^b/[E(X^b)^a]$ es función de $\beta$ solo. Desde $E(X^k)$ sólo existe para $\beta>k$ es mejor utilizar los momentos más bajos.

En particular, $E(X^2)/(E(X)^2)$ o $\operatorname{Var}(X)/(E(X)^2)$ o funciones convenientes de los mismos pueden utilizarse para resolver para $\beta$ (al menos numéricamente). Una vez $\beta$ es conocido, es sencillo obtener $\alpha$ de $E(X)$ .

Veamos ahora algunas formas prácticas de obtener $\beta$ .

Tenga en cuenta que $\frac{2\sin^2(x)}{\sin(2 x)} = \frac{2\sin^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)}= \tan(x)$ (en $0<x<\pi/2$ ).

Sea $\theta=\pi/\beta$ . Entonces $E(X)^2/E(X^2)=\theta/\tan(\theta)$ para $0<\theta<\pi/2$ es monótonamente decreciente en $\theta$ y tiene la ventaja añadida de que la función está acotada en este intervalo. Esto debería ser razonablemente sencillo de resolver para $\theta$ utilizando métodos numéricos estándar de búsqueda de raíces. Dado que $E(X)^2/E(X^2)$ estará siempre entre $0$ y $1$ esto debería dar siempre una solución posible (una con $\beta>2$ )

Sin embargo, podemos acercarnos mucho a la solución -y tener límites sobre ella- con un poco más de manipulación.

Tenga en cuenta que $\sqrt{1-\frac{x}{\tan(x)}}$ es muy próxima a la lineal:

En ese intervalo está delimitado entre las líneas $x/\sqrt{3}$ y $\frac{2x}{\pi}$ -- cuyas pendientes sólo difieren en un 10%.

Así que los pasos serían:

• Compute $k=\sqrt{\frac{\sigma^2}{\sigma^2+\mu^2}}$ .

• Resolver la ecuación $\sqrt{1-\frac{\theta}{\tan(\theta)}}-k=0$ para $\theta$ mediante un cómodo algoritmo de búsqueda de raíces, con límites iniciales $\frac{\pi}{2}k<\theta<\sqrt{3}k$ . Esto debería ser muy rápido.

• Obtenga $\beta=\pi/\theta$

• Calcule $\alpha=\mu\frac{\sin\theta}{\theta}$ .

Ejemplo: Supongamos que queremos averiguar los parámetros de una distribución log-logística que tuviera $\mu=10$ y $\sigma=10$ .

Entonces $k=\sqrt{\frac{10^2}{10^2+10^2}}=\sqrt{2}$ . Usando R:

f=function(x,k) {sqrt(1-x/tan(x))-k}
mu=10
sigma=10
k=sqrt(sigma^2/(sigma^2+mu^2))
f0 = uniroot(f,lower=k*pi/2,upper=min(pi/2,k*sqrt(3)),k=k)
f0
$root
[1] 1.165561

$f.root
[1] -3.517283e-08

$iter
[1] 3

$init.it
[1] NA

$estim.prec
[1] 6.103516e-05

Así que $\theta\approx 1.165561$ .

 theta=f0$root
 beta=pi/theta
 alpha=10*sin(theta)/theta
 alpha;beta
[1] 7.884698
[1] 2.695348

Ahora comprobemos que realmente hemos obtenido la media y la sd que pretendíamos:

 alpha*pi/beta/sin(pi/beta)
[1] 10
 alpha*sqrt(2*pi/beta/sin(2*pi/beta)-(pi/beta)^2/sin(pi/beta)^2)
[1] 9.999999

Unos 7 dígitos de precisión esa vez (probablemente tuvimos un poco de suerte consiguiendo que la raíz se acercara tanto a 0 esa vez; la precisión estimada sugiere que no debería haber funcionado tan bien).

Tiene buena pinta; parece que hace lo que debe.