Cálculo vectorial - Campos gradientes

Question

Para demostrar que una función $$F(x,y,z)=(f_1,f_2,f_3)$$ es un campo gradiente/conservador, es suficiente para demostrar que $$\frac{\partial f_1}{\partial z} = \frac{\partial f_3}{\partial x} \ and \ \ \frac{\partial f_1}{\partial y} = \frac{\partial f_2}{\partial x} \ \ and \ \ \frac{\partial f_2}{\partial z} = \frac{\partial f_3}{\partial y} \ \ ????$$ Para demostrar que NO es basta con demostrar que una de estas condiciones no es cierta. Pero mi pregunta es: si estas 3 condiciones son ciertas ¿puedo concluir que la función F es un campo gradiente?

Answer 1

Es un poco complicado/delicado:

1. Si el dominio $D$ del campo vectorial $F$ es un no vacío, simplemente conectado conjunto abierto, entonces cada $C^{1}$ campo vectorial cuyo rizo desaparece a lo largo de $D$ es un campo de gradiente en $D$ . En particular, si $F$ se define en alguna caja rectangular, o en una bola, o en todo $\mathbf{R}^{n}$ son equivalentes:

   (i) $\nabla \times F = 0$ en todo $D$ .

   (ii) Existe un $C^{2}$ función $f$ en $D$ tal que $\nabla f = F$ .

2. El campo vectorial $$ F = \frac{(-y, x, 0)}{x^{2} + y^{2}} $$ es libre de rizos en el complemento $D$ de la $z$ -eje en $\mathbf{R}^{3}$ . Porque la integral de $F$ alrededor del círculo unitario es $2\pi$ Sin embargo, $F$ no es un campo de gradiente en $D$ .

   Si $D'$ denota el complemento de un semiplano cerrado arbitrario que contiene el $z$ -eje, entonces $F$  es un campo de gradiente en $D'$ . (!) Por ejemplo, si $D'$ es el complemento del semiplano $x \leq 0$ , $y = 0$ y si $\theta:D' \to (-\pi, \pi)$ denota la rama de la función angular cilíndrica, entonces $F = \nabla \theta$ en $D'$ .

En resumen, si un campo vectorial libre de rizo particular $F$ es el gradiente en un dominio $D$ no depende únicamente de las funciones componentes de $F$ pero sobre la topología de $D$ .

Answer 2

Si el dominio $D$ está simplemente conectado, entonces la respuesta a tu pregunta es SÍ.

Añadido:- Desde $\nabla ×F=\begin{vmatrix}\hat i&\hat j&\hat k\\\delta/\delta x&\delta/\delta y&\delta/\delta z\\f_1&f_2&f_3\end{vmatrix}=0$

$\implies \hat i(\delta f_3/\delta y-\delta f_2/\delta z)-\hat j(\delta f_3/\delta x-\delta f_1/\delta z)+\hat k(\delta f_2/\delta x-\delta f_1/\delta y)=0$