Demostrar que $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{8}\right)\dots$ es convergente

Question

Demostrar que $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{8}\right)\dots$ es convergente:

Reescribamos esto en

$$\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{(-1)^n}{2^n}\right)$$

Este producto converge si

$$\sum_{n=1}^{\infty}\ln \left(1+\frac{(-1)^n}{2^n}\right)$$

lo hace. Ahora escribo

$$\sum_{n=1}^{\infty}\ln \left(1+\frac{(-1)^n}{2^n}\right)<\sum_{n=1}^{\infty}\ln \frac{(-1)^n}{2^n}$$

No estoy seguro de este paso. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

En $$\sum_{n=1}^{\infty}\ln \left(1+\frac{(-1)^n}{2^n}\right)$$ puede utilizar la prueba de series alternas. En concreto, la suma es igual a $$\sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}\ln\left(\left(1+\frac{\left(-1\right)^{n}}{2^{n}}\right)^{\left(-1\right)^{n}}\right)$$ Entonces basta con demostrar que $$\ln\left(\left(1+\frac{\left(-1\right)^{n}}{2^{n}}\right)^{\left(-1\right)^{n}}\right) > \ln\left(\left(1+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2^{n+1}}\right)^{\left(-1\right)^{n+1}}\right)$$

Exponenciando ambos lados se obtiene $$\left(1+\frac{\left(-1\right)^{n}}{2^{n}}\right)^{\left(-1\right)^{n}} > \left(1+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2^{n+1}}\right)^{\left(-1\right)^{n+1}}$$

Divídelo en dos casos: $n$ impar y $n$ incluso. Para $n$ impar, la desigualdad se simplificaría a $$\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)^{-1} > \left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\right)^{1}$$

Esto es fácil de demostrar ya que $\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\right) < 1-\frac{1}{2^{n+1}} < 1$ . Del mismo modo para $n$ incluso, la desigualdad sería $$\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)^{1} > \left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)^{-1}$$

Esto también es fácil de demostrar, ya que $\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) = 1+\frac{1}{2^{x}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{\left(n+1\right)}}\right) > 1$ . Por lo tanto, por la prueba de la serie alterna, la suma convergería.

Answer 2

Pista: basta con demostrar que el producto es absolutamente convergente. En este caso, podemos utilizar el hecho de que si $a_k>0$ , $\prod_{k\ge 1}1+a_k$ converge si $\sum_{k\ge 1}a_k$ converge.

Answer 3

Por concavidad de $\ln(x)$ tenemos $\ln(x)<x-1$ donde $x-1$ es la tangente a nuestra función en $x=1$ . Así que en primer lugar:

$$\sum_{n \text{ even}} \ln \left ( 1 + 2^{-n} \right ) < \sum_{n} \ln \left ( 1 + 2^{-n} \right ) < \sum 2^{-n}=1$$

Esto cubre los términos positivos. Para los términos negativos, utilizamos la desigualdad de Jensen, para demostrar que entre $x=1/2$ y $x=1$ nuestra función se encuentra por encima de la línea que pasa por $(1/2, \ln(1/2))$ y $(1, 0)$ . Esto da $\ln(x) > 2\ln\left ( 1/2 \right ))\left ( 1-x \right )$ en este intervalo. Como $\ln(x)$ es negativo en $(1/2, 1)$ esto implica:

$$\sum_{n\text{ odd}} \left | \ln \left ( 1 - 2^{-n} \right ) \right | < \sum_{n} \left | \ln \left ( 1 - 2^{-n} \right ) \right | < 2\ln\left ( 1/2 \right )) \sum 2^{-n} = 2\ln(1/2)$$

Su suma es por tanto absolutamente convergente, concretamente la suma original está acotada por $1-2\ln(1/2)$ y $2\ln(1/2)-1$ .