¿Qué hace la (ac/de)celeración rápida en relatividad a los relojes inerciales?

Question

EDITAR (para aclarar mi pregunta): Creo que algunas de las respuestas aquí son teniendo en cuenta el tiempo de viaje de la luz y me dice lo que realmente vería en el reloj de la Tierra, así que he editado mi primer párrafo para aclarar. I No creo que esta aclaración cambia el significado de esta pregunta, pero podría.

Resumen: si acelero a $0.8 c$ en 1 segundo, cuánto tiempo pasa para los observadores en mi sistema de referencia inercial inicial?

Parece una pregunta sencilla que probablemente ya se haya respondido, pero No he podido encontrar una respuesta sencilla para lo que parece ser una pregunta sencilla:

• Empiezo a 8 años luz de la Tierra, en reposo con respecto a la Tierra, y observo que el tiempo de la Tierra es t=0. Por supuesto, técnicamente, estoy viendo la Tierra como era hace 8 años (t=-8), pero sé que estoy a 8 años luz de la Tierra, así que automáticamente añado 8 años al tiempo que veo.

Hago esta suposición a lo largo de toda la pregunta. En otras palabras, cuando digo digo "la hora del reloj de la Tierra", quiero decir: "la hora que estoy viendo en el reloj de la Tierra más mi distancia a la Tierra en tiempo de viaje de la luz".

Creo que esto es lo normal en las preguntas sobre relatividad, pero podría estar equivocado al respecto.

• Manteniendo un ojo en el reloj de la Tierra, acelero a $0.8 c$ en 1 segundo. Como estoy acelerando, sé que el reloj de la Tierra irá más rápido que el mío. La pregunta es: ¿cuánto más rápido, y dónde va a terminar después de que haya terminado mi segundo de aceleración a $0.8 c$ ?

• En $0.8 c$ la distancia a la Tierra es ahora de 4,8 años luz (menos el poco que viajé durante la aceleración). El reloj de la Tierra corre ahora más lento que el mío por dilatación temporal. Así que, cuando hayan pasado 6 de mis años, han pasado menos de 6 años en el reloj de la Tierra.

• A medida que me acerco a la Tierra, "desacelero" al marco de referencia de la Tierra de modo que estaré en reposo cuando llegue a la Tierra. Por supuesto, la desaceleración es sólo la aceleración en una dirección diferente, por lo que, una vez más. una vez más, los relojes de la Tierra van más rápido que los míos.

• Y, una vez más, la pregunta es: en ese 1 segundo de desaceleración, ¿cuánto tiempo transcurrió en los relojes de la Tierra?

Lo que me molesta de este problema:

• En los 6 años que estuve viajando en $0.8 c$ Los relojes de la Tierra marcaban sólo 3,6 años por dilatación del tiempo.

• Para cuando llegue a la Tierra, los relojes terrestres habrán marcado 10 años, ya que me dicen viajando a 0,8c durante (la mayor parte de los) 8 años luz.

• La única forma de conciliar estas cifras (10 años menos 3,6 años, o 6,4 años) es que mi 1 segundo de aceleración y desaceleración cada uno tomó 3,2 años terrestres (alrededor de 10^8 segundos).

• Esto parece alto, y no puedo conseguir los números / fórmulas para producir esto, pero ...

• Por otra parte, parece algo razonable que la cantidad de tiempo transcurrido dependa sólo de mi velocidad final ( $0.8 c$ ) y no lo rápido que alcanzaba esa velocidad.

Tenga en cuenta que no creo que haya un problema de simultaneidad aquí, ya que empiezo y termino en el marco de referencia de la Tierra.

Answer 1

Es una pregunta más difícil de lo que crees, porque responderla requiere el cálculo de una geodésica en las coordenadas de Rindler.

Si estás acelerando a una aceleración constante $a$ entonces la métrica en sus coordenadas (de aceleración) viene dada por:

$$ ds^2 = -\left(1 + \frac{ax}{c^2}\right)^2c^2dt^2 + dx^2 $$

Estás acelerando hacia la Tierra, así que pongamos la Tierra a positivo $x$ lo que significa que la aceleración $a$ también es positivo. En estas coordenadas, la Tierra acelera ahora hacia ti, trazando una línea del mundo al hacerlo, y tienes que resolver la ecuación geodésica, poner las condiciones iniciales y luego calcular la longitud de la línea del mundo de la Tierra correspondiente a 1 segundo durante el que aceleras.

Tengo que confesar que no sé cómo hacer este cálculo y de hecho ni siquiera sé si la geodésica tiene una ecuación de forma cerrada. Llevo tiempo buscando en Google la solución a esto sin suerte. Si alguien sabe como hacer este cálculo me interesaría saber como se hace.

Pero podemos hacernos una idea aproximada de la siguiente manera. Supongamos que aceleras durante un tiempo lo suficientemente corto como para que la Tierra no se mueva significativamente, entonces la longitud del camino de la línea del mundo de la Tierra es sólo su tiempo transcurrido. Y podemos calcularlo muy fácilmente simplemente estableciendo $dx = 0$ y reescribiendo la métrica como

$$ d\tau^2 = \left(1 + \frac{ax}{c^2}\right)^2dt^2 $$

que nos da inmediatamente:

$$ \frac{d\tau}{dt} = 1 + \frac{ax}{c^2} $$

En esta ecuación $x$ es la distancia a la Tierra (8 años luz) y $a$ es tu aceleración adecuada (0.8 $c$ /seg). Poniendo estos valores en tu ecuación obtengo:

$$ \frac{d\tau}{dt} \approx 2 \times 10^8 $$

Así que durante el $1$ segundo aceleras sobre $2 \times 10^8$ segundos pasa en la Tierra.

Answer 2

Voy a abordar la última parte de su pregunta, es decir, cómo conciliar la $10$ años que pasaron en el reloj de la Tierra con el $3.6$ años que el viajero podría haber esperado ingenuamente. No voy a centrarme en los detalles de la fase de aceleración, y supondré que el cambio de velocidad de $0$ a $0.8c$ ocurre instantáneamente.

La solución a la paradoja, como ocurre tan a menudo en relatividad, tiene que ver con simultaneidad . En particular, el observador en la Tierra y el viajero no estarán de acuerdo en si sus relojes empezaron o no a cero. al mismo tiempo .

La situación se esboza en el siguiente diagrama de Minkowski. La dirección $(x,t)$ representan el marco terrestre, y $(x',t')$ el marco del viajero cuando se mueve con velocidad constante $v=0.8c$ hacia la Tierra. El factor de Lorentz es $$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \frac{5}{3}. $$

Supongamos que el observador tiene un reloj $\text{A}$ en el que lee una hora $t_\text{A}$ y el viajero tiene un reloj $\text{B}$ visualización de una hora $t'_\text{B}$ . Supongamos también que $\text{A}$ y $\text{B}$ se sincronizan antes de que el viajero comience a acelerar, de forma que $t_\text{A}=0$ y $t'_\text{B}=0$ al mismo tiempo, en el del observador marco. En ese momento, el viajero acelera a una velocidad $v=0.8c$ hacia el observador en la Tierra, y tras esta rápida aceleración se encuentra en reposo en el $(x',t')$ marco inercial. Además, su distancia inicial es $d=8$ ly, en el marco del observador.

La relación entre ambos marcos viene dada por las transformaciones de Lorentz: $$ \begin{align} x' &= \gamma\left[(x-d) + vt \vphantom{1^1_1}\right]\tag{1},\\ t' &= \gamma\left[t + (x-d)v/c^2\vphantom{1^1_1}\right]\tag{2}. \end{align} $$ (fíjese en el $+$ signos porque el viajero se desplaza en sentido negativo, y el extra $d$ debido al desfase entre los orígenes de los fotogramas). El viajero está en reposo en su propio marco, es decir $x'=0$ y de la ec. (1) obtenemos su trayectoria en el marco del observador: $$ x = d - vt. $$ El observador (en $x=0$ ) lee en su reloj $\text{A}$ que el viajero llegue a él cuando $$ t_\text{A} = d/v = 10\;\text{y}, $$ y a partir de la ec. (2) hallamos el tiempo de viaje correspondiente para el viajero: $$ t'_\text{B} = \gamma\left[t_\text{A} -dv/c^2\vphantom{1^1_1}\right] = \gamma\left[t_\text{A} -t_\text{A}v^2/c^2\vphantom{1^1_1}\right] = t_\text{A}/\gamma = 6\;\text{y}, $$ como se esperaba. Así que, desde el punto de vista del observador, los relojes $\text{A}$ y $\text{B}$ estaban inicialmente sincronizados, pero se desincronizaron debido a la dilatación temporal del viajero.

¿Qué ocurre desde el punto de vista del viajero? En primer lugar, comprueba que la distancia al observador ha cambiado: mide la distancia $d'$ a lo largo del $x'$ -lo que significa fijar $t'=0$ y $x=0$ . A partir de la ec. (2) tenemos $$ t = dv/c^2\tag{3}, $$ e introduciendo esto en la ec. (1) obtenemos $$ d' = -x' = -\gamma\left[-d + dv^2/c^2 \vphantom{1^1_1}\right] = d/\gamma= 4.8\;\text{ly}, $$ coherente con $t'_\text{B} = d'/v$ . Pero ¿qué concluye sobre el reloj $\text{A}$ ? Debido a su aceleración, pasó del $(x,t)$ marco inercial al $(x',t')$ marco inercial. Con ello, su noción de simultaneidad también ha cambiado: en el $(x',t')$ marco, relojes $\text{A}$ y $\text{B}$ no empezaron al mismo tiempo .

En efecto, demos al observador en la Tierra un segundo reloj $\text{C}$ que se pone a cero al mismo tiempo que el reloj $\text{B}$ según el viajero en el $(x',t')$ marco. En otras palabras, $t_\text{C}=0$ en $t'=0$ y $x=0$ . Y ya hemos calculado en la ec. (3) cuál es el tiempo correspondiente en el reloj $\text{A}$ : $$ t_\text{A} = dv/c^2 = 6.4\;\text{y,}\quad\text{for }t_\text{C}=0\;\text{y},\tag{4} $$ En otras palabras $$ t_\text{C} = t_\text{A} - dv/c^2. $$ Y ahora se resuelve la paradoja, porque cuando el viajero llega a la Tierra ( $x=0$ ), encontramos a partir de la ec. (2): $$ t'_\text{B} = \gamma\left[t_\text{A} - dv/c^2\vphantom{1^1_1}\right] = \gamma\, t_\text{C}, $$ o $$ t_\text{C} = t'_\text{B}/\gamma = 3.6\;\text{y}, $$ que es coherente con $$ t_\text{C} = t_\text{A} - dv/c^2 = 10 - 6.4 = 3.6\;\text{y}. $$

ACTUALIZACIÓN

¿Qué ve realmente el viajero mientras recibe señales del reloj $\text{A}$ ? ¿Verá un salto repentino? No, después de su aceleración verá ese reloj $\text{A}$ es 3 veces más rápido que su propio reloj, a pesar del efecto de la dilatación del tiempo. La razón es el efecto Doppler: las señales luminosas tardan cada vez menos tiempo en viajar desde el observador hasta él, a medida que se acerca a la Tierra. He añadido algunos de esos rayos de luz en la figura.

Supongamos que tenemos una señal que se envía desde el reloj $A$ a la vez $t_\text{A,s}$ . Esta señal seguirá una trayectoria $$ x = c(t - t_\text{A,s}). $$ El viajero avanza por el camino $x=d-vt$ , por lo que recibirá la señal cuando $c(t - t_\text{A,s}) = d-vt$ o $$ t = \frac{d+ct_\text{A,s}}{c+v}. $$ Esto corresponde a un tiempo $t'_\text{B,r}=t/\gamma$ en el reloj del viajero (el subíndice $\text{r}$ significa "recibido"), lo que significa $$ t'_\text{B,r} = \sqrt{\frac{1-v/c}{1+v/c}}\left(d/c +t_\text{A,s}\right) = \frac{1}{3}(8 + t_\text{A,s}). \tag{5} $$ Así ve ese reloj $\text{A}$ es 3 veces más rápido que el suyo. Recibirá la señal $t_\text{A,s}=-8$ y en $t'_\text{B,r}=0$ y; recibirá la señal $t_\text{A,s}=-6$ y en $t'_\text{B,r}=2/3$ y, y así sucesivamente, hasta que vea $t_\text{A,s}=10$ y cuando $t'_\text{B,r}=6$ y al llegar a la Tierra.

Answer 3

He aquí un diagrama espaciotemporal que muestra lo que ocurre y cómo se resuelve la cuestión de qué es simultáneo y qué no.

Necesitas saber dos cosas sobre los diagramas espacio-tiempo. Las distancias diagonales se calculan utilizando el teorema de Pitágoras pero con signo negativo. Así, el tiempo que tarda un viajero en recorrer la distancia $X$ a tiempo $T$ (culo visto en la tierra) es $$ t^2 = T^2 - X^2 $$ .

Consulte el diagrama que figura a continuación, en el que se indican los distintos tiempos.

Hagamos cuentas: Eres $X=8$ a años luz de la Tierra. Habéis sincronizado vuestros relojes para que tanto vosotros como la tierra tengáis que empezar a $T=0$ . Sin embargo, el reloj en la tierra que realmente se ve está mostrando $T=-X=-8$ yrs ya que ese es el tiempo que tardó la luz en llegar a ti. (El cono de luz está dibujado en naranja punteado).

Entonces aceleras (locamente rápido) para que alcances $v=0.8c$ en un segundo. Seguirá leyendo $T=-X=-8$ yrs en el reloj terrestre (es la misma luz que llega).

Ahora, sin embargo, su visión de lo que es simultáneo en la Tierra ha cambiado. Esto se debe a que tu línea de simultaneidad ha cambiado. En este diagrama de arriba (y en el de abajo) también he dibujado las líneas de simultaneidad como líneas discontinuas de color rosa. (El cono de luz está dibujado en naranja punteado). La regla en los diagramas espacio-tiempo es que la línea de simultaneidad forme el mismo ángulo con un rayo de luz que la línea del mundo de un viajero (las líneas moradas).

Dado que viaja a $v=0.8$ ( $c=0$ ) su línea de simultaneidad en el diagrama tiene una pendiente que es $1/v$ . Esta línea interseca la línea del mundo de la tierra en $T=X*v=8*0.8=6.4$ años. Por lo que concluyes que ahora eres simultáneo con la tierra 6.4 años en el futuro. Pero usted sigue viendo la luz 8 años en el pasado.

Ahora puedes ver que cuando te acercas a la Tierra, consideras que el futuro terrestre es simultáneo con tu tiempo. Sin embargo, el reloj de la Tierra es más lento que el tuyo y verás cómo poco a poco te vas poniendo al día con el futuro de la Tierra y cuando hayas llegado ya estarás al mismo tiempo.

Iv'e ilustrado esto a continuación, el iv'e eliminado el cono de luz para mayor claridad.

Sin embargo, así es como se siente en el barco. Tu eres $X=8$ sí lejos y el viaje (desde la perspectiva de la tierra) tomará $T=X/v=10$ años. Para ti el viaje durará $$t^2 = T^2 - X^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$$ así que $t=6$ años. Por lo tanto, al acercarse a la tierra que va hacia la luz emitida desde la tierra y el reloj que se wathich gor de $T=-8$ yrs cuando empiezas a $T=10$ yrs cuando termines. Los relojes observados en la tierra se verán como si estuvieran haciendo tic-tac a una velocidad de $(10+8)/6=3$ veces más rápido que el tuyo.

Por último, en la última figura inferior, hemos dibujado lo que ocurre cuando uno se aleja de la Tierra.

En este caso serás simultáneo con el pasado de la Tierra (líneas moradas). Pero la información que te llegue de la Tierra seguirá estando en orden cronológico (líneas naranjas claras).

Aunque la relatividad cambie tu perspectiva de lo que constituye la simultaneidad, nunca podrás ver el futuro yendo rápido (en cualquier dirección).

Espero que esto ayude un poco.

Answer 4

Esta no es una respuesta nueva, pero es un poco larga para un comentario y podría ayudar a evitar alguna confusión momentánea a alguien nuevo que tropiece con esto.

El OP tiene un viajero a 8 años luz de la tierra que acelera desde el marco de reposo de la tierra a $v=.8$ (en dirección a la Tierra) en un segundo (medido por el viajero), y se pregunta cuánto tiempo pasa en la Tierra durante esa aceleración.

Hay dos maneras muy distintas de interpretar esta pregunta.

La pregunta A es: ¿Cuánto tiempo dice el viajero que pasa en los relojes terrestres durante la aceleración?

La pregunta B es: ¿Cuánto tiempo dice un observador terrestre que pasa en los relojes terrestres durante la aceleración?

Si la aceleración es instantánea, es muy fácil ver que las respuestas a estas preguntas son "6,4 años" para la Pregunta A y "cero" para la Pregunta B.

Como la pregunta real hace que la aceleración no sea instantánea sino de 1 segundo según el viajero, las respuestas exactas son aproximaciones a 6,4 años y a cero.

Calcular la corrección de la pregunta A es tan fácil como aburrido. La corrección de la pregunta B es interesante y difícil. La respuesta de John Rennie sólo aborda la pregunta B, en la que descubre que la corrección es de aproximadamente 14.000 segundos.

Answer 5

La aceleración/desaceleración rápida en relatividad, ¿qué hace a los relojes inerciales?

No mucho. Piensa en el reloj de luz de espejos paralelos utilizado en la Wikipedia simple inferencia de la dilatación del tiempo debida a la velocidad relativa . Nótese que se debe a la velocidad relativa. Necesitas cierta aceleración para conseguir esa velocidad relativa, pero lo que importa es la velocidad relativa.

Resumen: si acelero a 0,8c en 1 segundo, ¿cuánto tiempo pasa para los observadores en mi sistema de referencia inercial inicial?

¡Un segundo! ¡LOL! Pero digamos que su velocidad media es de 0,4c. Usando el factor de Lorentz $$\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ da un factor de dilatación del tiempo de 0,9165. Si decimos que tú te mueves y ellos no para no liarnos con el "Paradoja de los gemelos" Un segundo de tu tiempo equivale a 1,1 segundos del tiempo de ellos. Sin embargo, ten en cuenta que no es correcto utilizar tu velocidad media. La dilatación temporal aumenta de forma cuadrática, no lineal. Para más información, véase Wikipedia. algunas expresiones más complejas .

Empiezo a 8 años luz de la Tierra, en reposo con respecto a la Tierra, y observo que el tiempo de la Tierra es t=0. Por supuesto, técnicamente, tardaré 8 años en saberlo (tiempo de viaje de la velocidad de la luz), pero creo que a la relatividad especial le parece bien que diga "actualmente es t=0 en la Tierra", ya que estoy en el mismo marco que la Tierra.

No hay problema.

Sin perder de vista el reloj de la Tierra, acelero hasta 0,8c en 1 segundo. Como estoy acelerando, sé que el reloj de la Tierra irá más rápido que el mío. La pregunta es: ¿cuánto más rápido y dónde irá a parar después de que haya terminado mi segundo de aceleración a 0,8c?

Deberías olvidarte de la aceleración. Estamos hablando de una fracción de segundo. Eso no es nada comparado con tu viaje de diez años. Calcula el factor de dilatación del tiempo, y es $\sqrt{1-0.8^2}$ o 0,6. Tu viaje durará seis años en barco.

A 0,8c la distancia a la Tierra es ahora de 4,8 años luz (menos el poco que viajé durante la aceleración). El reloj de la Tierra va ahora más lento que el mío por dilatación del tiempo. Así, cuando han pasado 6 de mis años, han pasado menos de 6 años en el reloj de la Tierra.

No. La distancia a la Tierra es de 8 años luz. Sabes muy bien que esta distancia no cambia sólo porque vayas rápido. Sabes de la contracción de la longitud y que si intentaras medir la distancia obtendrías 4,8 años luz. Pero sabes que lo que ha cambiado son tus medidas, nada más. Y deberías saber que estás dilatado en el tiempo, y que el reloj de la Tierra marcará diez años mientras viajas.

A medida que me acerco a la Tierra, "desacelero" hacia el sistema de referencia terrestre para estar en reposo cuando llegue a la Tierra. Por supuesto, la deceleración no es más que una aceleración en otra dirección, por lo que, una vez más, los relojes de la Tierra van más deprisa que los míos.

Olvídate de la aceleración y la deceleración. El reloj de la Tierra acaba siendo cuatro años diferente al tuyo.

Y, una vez más, la pregunta es: en ese 1 segundo de desaceleración, ¿cuánto tiempo transcurrió en los relojes de la Tierra?

Estamos hablando de una décima de segundo. Esto no es nada comparado con los cuatro años. Olvídalo.

Lo que me molesta de este problema: En los 6 años que estuve viajando a 0.8c 0,8c, los relojes de la Tierra se retrasaron sólo 3,6 años por dilatación temporal.

Estás cayendo en la paradoja de los gemelos. Aléjate. Sólo concéntrate en las trayectorias de la luz en los relojes de luz de espejos paralelos, como este /\/\/\/\ y este: ||.

Para cuando llego a la Tierra, los relojes terrestres deben de haber adelantado 10 años, ya que dicen que viajo a 0,8c durante (la mayor parte de los) 8 años luz.

Sí.

La única forma en que puedo conciliar estos números (10 años menos 3,6 años, o 6,4 años) es que mi 1 segundo de aceleración y desaceleración cada uno tomó 3,2 años terrestres (alrededor de 10^8 segundos).

No.

Esto parece alto, y no puedo conseguir los números/fórmulas para obtenerlo, pero por otro lado, parece algo razonable que la cantidad de tiempo que pasa dependa sólo de mi velocidad final (0,8c) y no de lo rápido que llegué a esa velocidad.

Como he dicho, necesitas aceleración para la velocidad relativa, pero es esta última la que hace que las lecturas del reloj sean diferentes. Piensa en un escenario con la misma aceleración y el doble de distancia. Ahora hay una diferencia de ocho años entre tus relojes y el de la Tierra. Más o menos unas décimas de segundo o dos.