Por qué el rango de un $n \times n$ después de restar la media de sus columnas es $n-1$ ?

Question

Dada una $n \times n$ matriz $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{bmatrix}$ donde cada $a_i$ son columnas de $A$ para $i = 1 \dots n$ .

La media de columna se calcula mediante $\bar{a} =(a_1 + a_2 + \dots + a_n)/n$ .

Entonces, define:

$B = \begin{bmatrix} a_1 - \bar{a} & a_2 - \bar{a}& \dots & a_n - \bar{a} \end{bmatrix}$ .

¿Puedo saber por qué el rango $(B)$ es $n-1$ ?

He intentado muchas veces con el programa de ordenador para probar, pero quiero una prueba de esto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Observamos que la suma de todas las columnas de $\mathbf{B}$ es igual a cero. Esto significa que una columna puede reescribirse como una combinación lineal de todas las demás. Por lo tanto, el rango es como máximo $n-1$ .