confusión sobre la característica en relación con la convolución y la medida del producto

Question

Recientemente me he topado con funciones características.

Sea $X,Y$ sean variables aleatorias en $(\Omega, \mathcal{F}, P)$

Sea $\widehat{P_{X}}$ y $\widehat{P_{Y}}$ denotan la función característica respectiva.

En nuestras notas, he anotado:

$X,Y$ son independientes $\iff$ $\widehat{P_{(X,Y)}}(x,y)=\widehat{P_{X}}(x)\times \widehat{P_{Y}}(y)$

Pero también está claro que: si $X,Y$ son independientes

$\widehat{P_{X+Y}}(x,y)=\widehat{P_{X}(x)}\times \widehat{P_{Y}(y)}$

Entonces eso significaría $\widehat{P_{(X,Y)}}(x,y)=\widehat{P_{X+Y}}(x,y)$

y puesto que cada función característica determina unívocamente la distribución respectiva $\implies$ $P_{(X,Y)}=P_{X+Y}$ seguramente no puede ser correcto.

Es decir $(X,Y)$ induce un espacio prob. en $(\mathbb R^{2},\mathcal{B}^{2})$ mientras que $X+Y$ induce un espacio prob. en $(\mathbb R,\mathcal{B})$

Answer 1

$\hat {P_{X+Y}}(x,y)$ ni siquiera tiene sentido. Tenga en cuenta que $\hat {P_Z}$ es una función de una variable para cualquier variable aleatoria $Z$ mientras que $\hat {P_{X,Y}}$ es una función de dos variables.

He aquí las definiciones: $\hat {P_{X,Y}} (x,y)=Ee^{i(xX+yY)}, \hat {P_{X+Y}} (t)=Ee^{it(X+Y)}$ . Independencia de $X$ y $Y$ es equivalente a $\hat {P_{X,Y}} (x,y)=\hat {P_X} (x) \hat {P_Y} (y)$ para todos $x,y \in \mathbb R$ .