$\textrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}) \to \textrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ no tiene sección para $p > 3$

Question

Sea $p > 3$ sea un primo. Quiero demostrar que la secuencia exacta $$1 \to \ker \pi \to \textrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}) \xrightarrow{\pi} \textrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \to 1$$ no está dividido. Es fácil comprobar que $A = \ker\pi$ es abeliano, por lo que $G = \textrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ actúa sobre $K$ por conjugación, haciendo $A$ a $G$ -módulo. Si $$s \colon \textrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \to \textrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z})$$ es una sección set-teórica de $\pi$ entonces $$\alpha_s(g,h) = s(g)s(h)s(gh)^{-1}$$ define un $2$ -cocyle $G \times G \to A$ cuya clase en $H^2(G,A)$ es independiente de la elección de la sección. Dado que $\alpha_s$ es trivial si $s$ es un homomorfismo, basta con demostrar que $\alpha_s$ no es un co-límite, es decir, no existe una función $\phi \colon G \to A$ tal que $$s(g)s(h)s(gh)^{-1} = s(g)\phi(h)s(g)^{-1}\phi(gh)^{-1}\phi(h)$$ para todos $g,h \in G$ .

Intenté suponer tal $\phi$ y observando el subgrupo de $U$ matrices unipotentes. Cada elemento de $A$ es $p$ -torsión, por lo que $\alpha_s$ es un $p$ -elemento de torsión de $H^2(G,A$ ). Dado que $U$ es el $p$ -Subgrupo Sylow de $G$ el mapa de restricción $H^2(G,A) \to H^2(U,A)$ es inyectiva en $p$ -parte de $H^2(G,A)$ por lo que si nos fijamos en la restricción de $\alpha_s$ a $U \times U$ debería ser suficiente.

Elija la sección $s$ de forma que mapee $U$ a matrices unipotentes en $\textrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z})$ . Después de jugar un poco con la condición coboundary, me encontré con que $\phi(g)$ y $s(g)$ debe conmutar para todos $g \in U$ . Desde $s(g)$ es unipotente, esto significa $$\phi(g) = \begin{pmatrix} 1 + a_gp & b_gp \\ 0 & 1 + a_gp \end{pmatrix}$$ para algunos $a_g,b_g \in \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ bien definido módulo $p$ . Si $s_g$ denota la entrada superior derecha de $s(g)$ para $g \in U$ entonces la condición de frontera nos dice que $g \to a_g$ es un homomorfismo y $$(b_g - b_{gh} + b_h)p = s_g - s_{gh} + s_h$$ para todos $g,h \in U$ . Así obtenemos un sistema de ecuaciones lineales sobre $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ con $p$ variables. No me queda claro cómo demostrar que este sistema es inconsistente, o cómo utilizar la hipótesis de que $p > 3$ . Además, levantar $0,1,-1$ en $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ a $0,1,-1$ en $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ , he comprobado que este sistema es incoherente sobre $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ . Pero pensé que la secuencia exacta se supone que se divide en el caso $p = 3$ . Así que no sé en qué me he equivocado y tampoco sé cómo proceder.

Answer 1

Sea $S=\pmatrix{1&1\\0&1}\in\text{GL}_2(\Bbb Z/p\Bbb Z)$ . Esto tiene orden $p$ , y la intuición sugiere que cualquier elevación a $\text{GL}_2(\Bbb Z/p^2\Bbb Z)$ debe tener orden $p^2$ lo que significa que no hay sección para $\pi$ . Pero, ¿es esto cierto?

Un levantamiento de $S$ tiene la forma $S'=I+A$ donde $$A=\pmatrix{ap&1+bp\\cp&dp}\in\text{GL}_2(\Bbb Z/p^2\Bbb Z).$$ Entonces $$A^2=\pmatrix{cp&(a+d)p\\0&cp},$$ $$A^3=\pmatrix{0&cp\\0&0}$$ y $A^4=0$ . Para $p\ge5$ entonces $$S'^p=I+pA+\binom p2A^2+\binom p3A^3=I+\pmatrix{0&p\\0&0}$$ lo que significa que $S'$ no tiene orden $p$ en $\text{GL}_2(\Bbb Z/p^2\Bbb Z)$ .

Este argumento no es válido para $p\in\{2,3\}$ . Por ejemplo, con $p=3$ un tiene $$S'^3=I+3A+3A^2+A^3=I+\pmatrix{0&(c+1)p\\0&0}$$ para que uno pueda tomar $c=-1$ . Por supuesto esto es algo tímido para probar que en este caso $\pi$ tiene una sección, pero demuestra que este argumento no lo refuta.

Answer 2

He aquí una prueba diferente que utiliza más teoría y menos cálculos.

Existe una clase de $p$ -grupos denominados regular $p$ -grupos que tienen varias propiedades agradables. Todos los grupos de orden $p^n$ para $n \le p$ son regulares, y una de las propiedades de los regulares $p$ -es que, para cualquier $k$ los elementos de orden que dividen $p^k$ forman un subgrupo.

Si la extensión en la pregunta se dividió, a continuación, un Sylow $p$ -subgrupo $P$ también se dividiría. Ahora $|P|=p^5$ Así que $P$ es regular cuando $p \ge 5$ .

Desde $\ker \pi$ es abeliano elemental, si la extensión se divide, entonces $P$ sería generado por elementos de orden $p$ y, por tanto $P$ tendría exponente $p$ . Pero eso es claramente falso, porque el elemento $\left( \begin{array}{cc}1&1\\\ 0&1\end{array}\right)$ tiene orden $p^2$ . Por lo tanto, la extensión no está dividida.