¿Por qué "funcionan" la diferenciación y la integración?

Question

¿Por qué se obtiene la pendiente (cambiante) de una función cuando se toma su derivada y por qué se obtiene el área bajo la función cuando se toma su integral? ¿Cuál es el razonamiento más sencillo?

Answer 1

Le recomiendo encarecidamente que eche un vistazo al primer capítulo del libro de Gilbert Strang Cálculo . En él, Strang ofrece una introducción intuitiva a la diferenciación y la integración.

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Pero para una explicación breve y bastante estándar:

Diferenciación

Considere la imagen anterior. La derivada esencialmente toma el límite como $h \to 0$ . Es evidente que, para $h$ se obtiene una buena aproximación para la línea tangente suponiendo $f$ es algo suave. En el límite, esta aproximación se convierte en la recta tangente. Este concepto se define matemáticamente como:

$$f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0)+h - f(x_0)}{h}.$$

Gráficamente, sí:

Integración

De nuevo, considere la imagen anterior. Con la integración tomamos el límite a medida que el número de rectángulos se aproxima al infinito (y, por tanto, la anchura de cada rectángulo se aproxima a cero). Está claro que con cientos o miles de rectángulos, la suma del área de cada rectángulo se aproxima mucho al área bajo la curva. En el límite, obtenemos que la suma es exactamente igual al área. Este límite se escribe matemáticamente como

$$\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i$$

donde $\Delta x_i$ es la anchura del $i$ 'th partición. Gráficamente, este proceso se parece a:

Answer 2

Sólo funciona bajo la métrica euclidiana; cambia la métrica, y no están tan sencillamente relacionados.

O, simplemente, toma la suma de Riemann de las diferencias; todos los términos se cancelan excepto el primero y el último.

O bien, basta con diferenciar las sumas de Riemann y todos los términos medios se anulan entre sí menos el primero y el último.

Por supuesto, todo esto tiene que seguir siendo cierto con métodos de integración y diferenciación más generales, pero ver la sencilla aritmética que relaciona ambos elimina el misterio.

Si la gráfica se dibujara sobre la superficie de una esfera, la relación entre integración y diferenciación sería mucho más diferente, ya que una es la inversa de la otra.

Answer 3

Para tener una idea, probablemente lo mejor sea considerar siempre las cantidades como $dx$ como infinitesimal es decir, un "número" positivo de tipo real que sea menor que todos los $\frac1n\ (n\in\Bbb N)$ . Este contexto puede precisarse utilizando análisis no estándar . Utilizando este lenguaje, las funciones reales pueden extenderse a los reales no estándar (esto contiene los reales, junto con infinitesimales en cada punto). Introduzcamos la notación $$a\approx b\ \text{ iff }\ a-b\ \text{is infinitesimal}.$$

Para una función $f$ definimos $df(x):=f(x+dx)-f(x)$ donde $dx$ denota un infinitésimo arbitrario. Tenemos que $f$ es continuo en $x$ si $df(x)$ es siempre infinitesimal (para cualquier elección infinitesimal de $dx$ ), es decir, si $f(x+dx)\approx f(x)$ .

Para un $h>0$ tenemos que $\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}h$ no es más que la pendiente de la recta que pasa por $(x,f(x))$ y $(x+h,f(x+h))$ . En el análisis ordinario, podemos tomar su límite como $h\to 0$ entonces el sector convergerá al tangente en $x$ . En el enfoque no estándar, se define simplemente como $$f'(x):\approx\frac{df(x)}{dx}$$ Intuitivamente, si la distancia de $x$ y $x+dx$ es infinitesimal, entonces la diferencia (de las pendientes) del sector con $h=dx$ a la tangente también es infinitesimal.

Por la integral, $f(x)\cdot dx$ ya es el área (con signo) de un rectángulo de altura $f(x)$ y anchura infinitesimal $dx$ . Si $f(x)$ es real, entonces $f(x)\cdot dx$ es de nuevo infinitesimal, y podemos "sumar" estos para todos los reales $x\in [a,b]$ -- son tantos que su suma no suele ser ya infinitesimal. $$\int_a^b f :=\sum_{x\in [a,b]}f(x)\cdot dx$$ Esto sólo quería dar sólo una idea para el enfoque original y ahora llamado no estándar. Para más detalles, consulte el artículo de wikipedia.

Answer 4

Una razón intuitiva que la derivada de la integral es la función original (para funciones "bonitas") es la siguiente:

Sea $f$ sea la función y $F$ sea su integral, por lo que $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ , donde $a$ es el punto de integración inicial. No importa qué $a$ es - que pronto saldrá, escenario a la derecha.

La derivada de $F$ en $x$ es aproximadamente $\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac1{h}\int_x^{x+h} f(t) dt$ (te lo dije $a$ se iría, ahora todo bien, ¡hola!). Desde $f$ es "agradable", en un intervalo pequeño, por ejemplo $[x, x+h]$ es casi constante, por lo que cada $f(t)$ en $[x, x+h]$ es $f(x)$ con un error que se va reduciendo hasta llegar a cero como $h \to 0$ (eso es lo que significa "agradable").

Este $\int_x^{x+h} f(t) dt \approx \int_x^{x+h} f(x) dt = h f(x)$ así que $F'(x) \approx \frac{F(x+h)-F(x)}{h} =\frac1{h}\int_x^{x+h} f(t) dt \approx \frac1{h} (h f(x)) = f(x) $ .

Niego explícitamente cualquier originalidad en este post, aparte de mi uso de frases no esenciales.