Teoría de conjuntos e igualdad

Question

Sea $A$ y $X$ sean conjuntos. Demostrar que $X\setminus(X\setminus A)\subseteq A$ y esa igualdad se cumple si y sólo si $A\subseteq X$ .

Entiendo por qué es así, pero no sé cómo "demostrarlo". Agradecería cualquier consejo.

Answer 1

Comience con la definición/expresión alternativa de "setminus": $A\setminus B=A\cap B^c$ donde $B^c$ es el complemento de $B$ : $$X\setminus(X\setminus A)=X\cap (X\cap A^c)^c = X\cap (X^c \cup A) = (X\cap X^c) \cup (X \cap A)= X\cap A$$ ¿Eso ayuda?

Answer 2

Define que $A\subseteq X \,\,\Leftrightarrow\,\, \forall x\in A \Rightarrow x\in X$

Dolor attetion que: $X\backslash A\Leftrightarrow x\in X$ y $x\notin A$ .

y, por De morgan, $(X\backslash A)^c \Leftrightarrow x\notin X$ o $x\in A.$

$X\backslash(X\backslash A)\Leftrightarrow x \in X \,\,\text{and}\,\, x\notin (X\backslash A)\Rightarrow x\in X$ y $x\in (X\backslash A)^c\Rightarrow x\in X$ y $(x\notin X$ o $x\in A)\Rightarrow x\in X$ y $x\in A \Rightarrow x\in A$ .

Para la ecuación necesito demostrar la inversa (recuerda que $A\subseteq X$ es verdadero):

$A\subseteq X\backslash(X\backslash A)$ .