Evaluación de una integral en coordenadas esféricas sobre una región en forma de impar.

Question

Tengo que evaluar esta integral:

$$ \int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{y}^{\sqrt{4-y^2}}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2-y^2}} \sqrt{x^2+y^2+z^2}dzdxdy $$

en coordenadas esféricas. Veo que la región en el plano xy es un sector circular limitado por $y=x$ y $y=\sqrt2$ con un radio de 2, he encontrado que la región en tres dimensiones se vuelve complicada de evaluar debido al plano que corta el sector esférico en y=sqrt(2). Me cuesta encontrar una expresión para $\rho$ o r que describe tanto la parte esférica como la parte plana, así como una $\phi$ que también funciona, es ver que $ \frac{\pi }{4}\leq \theta \leq \pi $ .

Gracias

Answer 1

Como (casi) ha señalado David, los límites de las dos primeras integrales corresponden a un octavo círculo de radio $2$ con $0\le\phi\le\pi/4$ . El límite de $z$ también corresponde a $r=2$ por lo que la integral es

$$\int_0^2\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/4}rr^2\sin\theta\mathrm d\phi\mathrm d\theta\mathrm dr=\frac142^4\cdot1\cdot\frac\pi4=\pi\;.$$

Answer 2

No creo que tengas la región correcta.

Por supuesto, para establecer la integral en coordenadas esféricas, es necesario describir la región en coordenadas esféricas.

Hagámoslo. Primero, a partir de la integral dada, determinemos el sólido $S$ definida por los límites de integración. Con este fin, llamemos a la integral más interna $g(x,y)$ . Entonces podemos escribir la integral dada como $$\tag{1} \int_0^{\sqrt 2} \int_y^{\sqrt{4-y^2}} g(x,y) \,dx\,dy. $$ Ahora determinaremos la región $R$ en el $x$ - $y$ plano que los límites de integración en $(1)$ determinar. Dado que la integral más externa es con respecto a $y$ la región $R$ está "generada" por segmentos de línea $l_y$ que son paralelas a la $x$ -Eje. Los segmentos de línea comienzan en $y=0$ y termina en $y=\sqrt2$ (los límites de integración de la integral exterior). Para una $y$ en $[0,\sqrt2]$ los puntos extremos del segmento de recta $l_y$ vienen determinados por los límites de integración de la integral interna: $l_y$ tiene puntos finales en las gráficas de $x=y$ y $x=\sqrt{4-y^2}$ .

También puede leer una descripción de $R$ de los límites: $$ R=\bigl\{\, (x,y)\mid 0\le y\le \sqrt2, y\le x\le \sqrt{4-y^2}\,\bigr\}. $$

En cualquier caso, vemos que $R$ es la región sombreada en azul:

Ahora volvamos a la triple integral. Considerando la integral más interna, vemos que el sólido está limitado abajo por la región $R$ (ya que el límite inferior de integración es $z=0$ ) y limitada por arriba por la esfera de radio 2 (ya que el límite superior de la integración es $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ ).

Así que $S$ es un sector esférico y se describe mediante las coordenadas esféricas:

$$ \eqalign{ 0&\le r\le 2\cr 0&\le\theta\le\pi/4\cr 0&\le \phi\le\pi/2 } $$ (Yo uso $\phi$ como el ángulo con el $z$ -eje).

Y a partir de aquí ya puedes plantear la integral en coordenadas esféricas.