Máximas ideales en anillos de polinomios sobre un campo

Question

Deje $K$ ser un algebraicamente cerrado de campo y deje $k$ ser un subcampo de la $K$ de manera tal que la extensión de campo $K \mid k$ es algebraico. Deje $B$ ser el polinomio anillo de $K [x_1, \ldots, x_n]$ y deje $A$ ser el sub-anillo $k [x_1, \ldots, x_n]$. Está claro que cualquier $k$-subalgebra de $K$ es un campo, por lo que se deduce que la intersección de a $A$ y cualquier ideal maximal de a $B$ es un ideal maximal de a $A$. Por otra parte, cada ideal maximal de a $A$ surge de esta manera.

Pregunta. ¿Cuáles son los máximos ideales de la $A$, descrito en términos de los máximos ideales de la $B$?

Es bien sabido que los máximos ideales de la $B$ son todos de la forma $(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)$ algunos $n$-tupla $(a_1, \ldots, a_n)$ de los elementos de $K$. Por lo tanto, para cada ideal maximal $\mathfrak{m}$$A$, podemos definir el conjunto $$P(\mathfrak{m}) = \{ (a_1, \ldots, a_n) \in K^n : (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \cap A = \mathfrak{m} \}$$ y este conjunto es finito (porque es un 0-dimensiones cerrado subconjunto de $\mathbb{A}^n_K$). Considere la posibilidad de $G = \mathrm{Aut}(K \mid k)$. Por supuesto, $G$ actúa en $B$, y cada elemento de a $A$ es invariante bajo la acción de $G$, por lo que se deduce que el $P (\mathfrak{m})$ es cerrado bajo la acción de la $G$ $K^n$ como bueno, es decir, $P (\mathfrak{m})$ es la unión de $G$de las órbitas.

Conjetura. $G$ actúa transitivamente sobre $P (\mathfrak{m})$.

Esto es cierto si $k$ es un campo perfecto y $n = 1$ – después de todo, en ese caso, $\mathfrak{m}$ es un director ideal generado por un polinomio en una variable irreductible $k$. De hecho, esto es cierto incluso sin la suposición de que $k$ es perfecto: sabemos que los residuos del campo de $\kappa (\mathfrak{m}) = A / \mathfrak{m}$ es un campo finito de extensión de $k$, y que el derecho $G$- $k$- álgebra incrustaciones $\kappa (\mathfrak{m}) \to K$ es isomorfo a la derecha $G$-conjunto de ceros en $K$ para el generador de $\mathfrak{m}$; pero el homomorphism extensión de la propiedad de $\kappa (\mathfrak{m}) \to K$ implica que cualquiera de los dos incrustaciones puede ser conectado con un isomorfismo de $K$, lo $G$ actúa transitivamente sobre el conjunto de la $k$-álgebra incrustaciones $\kappa (\mathfrak{m}) \to K$.

¿Y el caso general donde $n > 1$? Yo siempre había dado por sentado que la indicada en la conjetura era cierta, pero no he sido capaz de encontrar una prueba en los lugares de costumbre. Por el descenso de la teoría, uno puede mostrar que $$\operatorname{Spec} B \otimes_k B \rightrightarrows \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$$ es un coequaliser diagrama en la categoría de esquemas, de manera $\operatorname{Spec} A$ es un esquema teórico de cociente de $\operatorname{Spec} B$ por un interno de la relación de equivalencia, pero no está claro para mí lo que esta equivalencia interna relación es al $n > 0$. (Para $n = 0$ $k$ perfecto, algo extraordinario sucede: $\operatorname{Spec} K \otimes_k K$ tiene una canónica de libre continuo transitiva acción de $\mathrm{Gal}(K \mid k)$!)

Answer 1

Es bien conocido que el conjunto de los máximos ideales de la $k[x_1,\dotsc,x_n]$ corresponde a $K^n / \mathrm{Aut}(K/k)$. De hecho, cada ideal maximal $\mathfrak{m}$ tiene un residuo de campo que es finito $k$ (Corolario de Noether para la normalización), por lo tanto, tiene una incrustación en $K$, lo $\mathfrak{m} = \{f \in k[x_1,\dotsc,x_n] : f(a)=0\}$ algunos $a \in K^n$. Al $a,b$ son conjugado bajo la acción de $\mathrm{Aut}(K/k)$, la máxima ideales claramente coinciden. Por el contrario, si $\{f : f(a)=0\} = \{f : f(b)=0\}$, $k(a_1,\dotsc,a_n) \cong k(b_1,\dotsc,b_n)$ través $a_i \mapsto b_i$, y esto se extiende a un automorphism de la clausura algebraica $K$. Por lo tanto $a$ $b$ son conjugadas.

Por lo tanto, $\mathrm{Spm}(k[x_1,\dotsc,x_n]) \cong \mathrm{Spm}(K[x_1,\dotsc,x_n]) / \mathrm{Aut}(K/k)$ como conjuntos.

Más generalmente, si $R \subseteq R'$ es una parte integral de extensión de la normal de dominios que $Q(R')/Q(R)$ es un campo normal de extensión, a continuación, $\mathrm{Spm}(R) \cong \mathrm{Spm}(R') / \mathrm{Aut}(R'/R)$ e la misma con $\mathrm{Spec}$ (Cohen-Seidenberg).