Ampliando este problema completando el cuadrado.

Question

La siguiente es la etapa final de una prueba completa, que llegó a un problema de completar el cuadrado que estoy teniendo problemas para averiguar los pasos de derivación. ¿Podría alguien ayudar a mostrar los pasos de cómo se llegó al resultado final?

Agradezco cualquier ayuda.

cuando x1 y x2 no son iguales a cero.

Answer 1

$9x_1^2+6x_2^2-4x_1x_2=(x_1^2-4x_1x_2+4x_2^2)+8x_1^2+2x_2^2$

Answer 2

Para demostrar que la expresin es no negativa, hay que "ocultar" el sumando posiblemente negativo $-4x_1x_2$ en (la expansión de) un cuadrado. También se podría intentar utilizar $2(x_1-x_2)^2=2x_1^2-4x_1x_2+2x_2^2$ para esta ocultación, llegando a $$9x_1^2+6x_2^2-4x_1x_2=2(x_1-x_2)^2 +7x_1^2 +4x_2^2\ge 0,$$ ya que tenemos la suerte de disponer de suficiente margen en los coeficientes grandes $9$ y $6$ de los otros sumandos.

Answer 3

Basta con ampliarlo para ver que funciona. La idea es hacer un cuadrado que se ocupe del término cruzado $-4x_1x_2$ . Eso significa que quieres $(ax_1-bx_2)^2$ con $2ab=4$ . También desea $a^2\lt 9, b^2 \lt 6$ así que te quedas con cuadrados positivos. Hay muchas opciones. Podrías haber elegido $a=2,b=1$ por ejemplo, obtener $$9x_1^2+6x_2^2-4x_1x_2=(2x_1^2-x_2)^2+5x_1^2+3x_2^2\ge 0$$ igual de bien. También puede utilizar $a=b=\sqrt 2$ .