¿Cómo puede haber un vector de posición?

Question

Estoy estudiando sistemas de coordenadas curvilíneas en $\mathbb{R^3}$ y después de pensarlo unos días sigo sin entenderlo.

Cuando tenemos, digamos, coordenadas cilíndricas, tenemos una base vectorial diferente para cada punto (una base vectorial para el espacio tangente en cada punto), y esas bases no son todas iguales (si lo fueran, tendríamos un sistema de coordenadas afín).

El vector de posición, un vector que lleva el origen a cualquier punto de $\mathbb{R}^3$ puede expresarse en coordenadas cilíndricas como $$\vec{r}=r\vec{e}_r+z\vec{e}_z$$

pero, si la base de $T_P\mathbb{R}^3$ para un punto concreto $P$ sólo se utiliza para vectores "attatched" en $P$ o un barrio de $P$ ¿por qué podemos expresar un vector desde el origen hasta $P$ en coordenadas de esa base?

Answer 1

Digamos que tenemos un punto $P = (r, \theta, z)\in \Bbb R^3$ utilizando coordenadas cilíndricas. Esto da lugar a una $\vec e_r$ que es de longitud unitaria y se encuentra en la $xy$ -y tiene ángulo $\theta$ a la $x$ -y un vector $\vec e_z$ que no es más que el vector unitario a lo largo del $z$ -Eje. De esta forma tenemos $$ P = r\vec e_r + z\vec e_z $$ Un punto diferente $Q$ daría una $\vec e_r$ (y teóricamente también un $\vec e_z$ pero por una peculiaridad del sistema de coordenadas cilíndricas, ese vector resulta ser el mismo para cualquier punto). Así pues, $\vec e_r, \vec e_z\in \Bbb R^3$ no están realmente bien definidos por sí mismos, sino sólo cuando se les da un punto específico a partir del cual trabajar.

Al mismo tiempo, en este punto $P$ tenemos el espacio tangente $T_P\Bbb R^3$ . Se trata también de un espacio vectorial tridimensional, como $\Bbb R^3$ pero no es lo mismo $\Bbb R^3$ que $P$ yace en. En este espacio vectorial tenemos una base natural derivada del sistema de coordenadas alrededor de $P$ y esa base se denomina a veces $\vec e_r, \vec e_\theta$ y $\vec e_z$ (la construcción exacta de estos vectores utiliza la definición de $T_P\Bbb R^3$ extensivamente, por lo que variará de un libro a otro, y también hay diferentes convenciones en cuanto a lo que sus longitudes deben ser).

Si tenemos un punto diferente $Q\in \Bbb R^3$ entonces $T_Q\Bbb R^3$ también es un espacio vectorial tridimensional, pero es diferente de $\Bbb R^3$ y es diferente de $T_P\Bbb R^3$ .

Un vector ("punto") en $\Bbb R^3$ no tiene traducción natural a un vector en $T_P\Bbb R^3$ y tampoco un vector en $T_Q\Bbb R^3$ . Sin embargo, tanto $T_P\Bbb R^3$ y $T_Q\Bbb R^3$ tienen su propia base definida de forma natural denominada $\vec e_r, \vec e_\theta$ y $\vec e_z$ pero sólo comparten su nombre porque están construidos de la misma manera. Un vector en $T_P\Bbb R^3$ es completamente incomparable con un vector en $T_Q\Bbb R^3$ (esto se ve más fácilmente con sólo mirar su definición del espacio tangente; no hay forma natural de convertir un vector de un espacio en un vector del otro (bueno, hay por traslación, pero eso no es aplicable a espacios no planos y esto es un hábito terrible para empezar)).

Junto con el $\vec e_r, \vec e_z$ de $\Bbb R^3$ Esto se presta a confusión. Esto es lo que sospecho que te ha ocurrido y te ha hecho escribir esta pregunta. Mi mejor consejo es estar siempre muy consciente de qué espacio vectorial forma parte cualquier vector cuando los escribes y los manipulas. Si lo haces dándoles nombres diferentes (en lugar de llamarlos a todos $\vec e_r$ ), entonces es un poco más fácil mantener las cosas claras.

Answer 2

Así que tenemos una superficie $S$ (en tu ejemplo, un cilindro) y un conjunto de espacios tangentes $\{T_P|P\in S\}$ . Es mejor pensar que cada espacio tangente del conjunto de espacios tangentes es una instancia completamente separada de $\mathbb{R}^2$ .

Si piensa en $S$ como incrustado en $\mathbb{R}^3$ entonces es tentador pensar que los espacios tangentes son planos en $\mathbb{R}^3$ pero esto es engañoso. Si realmente fueran aviones en $\mathbb{R}^3$ entonces los espacios tangentes de dos puntos cercanos se solaparían. En tu ejemplo, los espacios tangentes en $P$ y $Q$ se cruzarían a lo largo de una línea en $\mathbb{R}^3$ o tal vez se solapen completamente si $P$ y $Q$ están en la misma generatriz del cilindro. De hecho no hay intersección de $T_P$ y $T_Q$ si $P \ne Q$ ; $T_P$ y $T_Q$ son espacios vectoriales completamente separados.

Así que cualquier vector base que elijas en $T_P$ son completamente independientes de los vectores base que se puedan elegir en otro espacio tangente $T_Q$ - y también completamente separado de cualquier vector base en el espacio "ambiente". $\mathbb{R}^3$ .

Esto sigue siendo cierto incluso cuando $S$ es un plano. Aunque es tentador pensar en el espacio tangente a un punto $P$ en un avión $S$ como formado por vectores en $S$ con su "raíz" en $P$ Esto es una imagen doblemente engañosa porque entonces se tiene la tentación de sumar o comparar vectores tangentes en diferentes puntos.

Es posible definir relaciones entre los vectores en $T_P$ y los vectores en espacios tangentes de puntos "cercanos a" $P$ pero esto requiere una estructura adicional llamada "conexión".