¿Estructura algebraica con más de $2$ leyes internas?

Question

Esta es probablemente una pregunta estúpida pero ¿podría haber una estructura algebraica como un grupo o un anillo o algo más, con más de $2$ leyes internas? ¿como $(G,+,\cdot,\star)$?

Sé que podríamos crear una ley adicional en $\Bbb Z$ por ejemplo definiendo $a\star b=a+b-ab$ o algo pero eso usa las dos leyes existentes...

¿Estudiamos $(\Bbb F[x],+,\cdot,\circ)$ como una estructura de adición multiplicación y composición de polinomios?

Answer 1

Un ejemplo de una ley interna adicional definida a partir de leyes internas existentes es el conmutador.

Se fija un anillo $R$. El conmutador de $R$ es el producto antisimétrico dado por $$[a,b]=ab-ba$$ para dos elementos $a,b\in R$. Se puede verificar que esta operación actúa como una derivada, lo que significa que satisface la regla de Leibniz, $$[a,bc]=[a,b]c+b[a,c];$$ y satisface los axiomas de un producto de álgebra de Lie

• $[a+b,c]=[a,c]+[b,c]$
• $[a,a]=0$
• (Identidad de Jacobi) $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$

De esta manera, $(R,+,[\,\cdot\,,\,\cdot\,])$ se convierte en un álgebra de Lie, que se utiliza para entender la conmutatividad del anillo original $R$.

Answer 2

La estructura $(\Bbb F[x],+,\cdot,\circ)$ es un ejemplo de un anillo de composición.