¿Podemos hablar de los derivados de conjuntos?

Question

Supongamos que tenemos una secuencia monótona de conjuntos: $$A_1,\ldots,A_n$ $ $$A_i \subseteq A_{i+1}$ $

Creo que esta es una función de $\mathbb N$ a un espacio de juegos. ¿Podemos definir una función de $\mathbb R$ a un espacio de juegos? ¿Podríamos entonces definir una derivada de esta función?

Answer 1

Gran pregunta!

Estás absolutamente en lo cierto que podemos pensar de una secuencia de (no necesariamente anidada) establece como una función de$\mathbb{N}$$\textbf{Sets}$, y que - en la medida en que podemos pensar acerca de $\mathbb{N}$ $\textbf{Sets}$ como espacios - podemos tener una noción de derivada. Sin embargo, resulta que $\mathbb{N}$ es demasiado malo para que esto funcione bien.

Con el fin de hacer sentido de los "derivados", de una función de$X$$Y$, tenemos $X$ $Y$ a ambos llevan una noción de distancia , es decir, necesitamos $X$ $Y$ a espacios métricos. En la cara de ella, es suficiente para definir una diferencia cociente (EDIT: como lisyarus se ha señalado, esto no generalizar la derivada, sino más bien el valor absoluto de la derivada: sin una noción de la dirección, es imposible saber si una función es "aumentar" o "disminuir", etc.) de la siguiente manera: $f'(a)$ es el límite, como $b$ enfoques $a$, de la relación de $${d_Y(f(a), f(b))\over d_X(a, b)}$$ (where $d_X$ and $d_Y$ are the notions of distance on $X$ and $S$, respectively). However, there is a huge problem with this: we're assuming that this limit, if it exists, is unique. In general, this won't be the case. For example, consider the natural metric on $\mathbb{N}$ ($d(m, n)=\vert m-n\vert$). This is full of "gaps," and these gaps prevent the derivative from making sense: given any function $f$ from $\mathbb{N}$ to $S$, any $n\in\mathbb{N}$, and any real number $r$, we have $$\forall \epsilon>0\exists \delta>0\forall k[0<\vert k-n\vert<\delta\implies \vert{d_Y(f(a), f(b))\over \vert k-n\vert}- r\vert<\epsilon]$$ for stupid reasons: take $\delta<1$. So the statement "the difference quotient tends to $r$," as naively written, will be true for all $r$.

Básicamente, con el fin de tener una noción útil de la derivada de una función de un espacio métrico $X$ a un espacio métrico $Y$, tenemos $X$ tener sin puntos aislados. Si no hay puntos aislados en $X$, el límite del cociente de la diferencia (si existe) es único, por lo que la teoría de la diferenciación no está totalmente roto. Por supuesto, sin más definición de los supuestos en tanto $X$ $Y$ probablemente no sea buena . . .

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En caso de que usted está interesado en loco ejemplos de este tipo de cosas, que en realidad son matemáticamente útil:

La mayoría del tiempo vas a conocer cálculo de ser generalizado a los colectores; estos son espacios en los que "parecen" $\mathbb{R}$, en cierto sentido, de modo que la existencia de tal generalización no es realmente muy sorprendente. Para un ejemplo de cálculo de hecho en un salvajemente espacio diferente al de $\mathbb{R}$, echa un vistazo p-ádico de cálculo: http://www2.math.ethz.ch/education/bachelor/seminars/hs2011/p-adic/report8.pdf

Answer 2

Para empezar, no existe un "espacio de juegos". Incluso un "conjunto de todos los conjuntos" no existe (en ZFC y sus extensiones, por ejemplo). Sus funciones deben tener valores en un conjunto, cuyos elementos son los conjuntos de sí mismos.

$\mathbb{N}$ $\mathbb{R}$ son conjuntos también, y nada le impide hablar de una función de a en algún lugar con los valores de los conjuntos. Por ejemplo $f: \mathbb{R} \to 2^\mathbb{R}$, $f(x) = \{y : y < x\}$.

Para hablar sobre los derivados, usted tiene que definir una estructura de un espacio de Banach sobre la función del codominio (que es, aproximadamente, usted tiene que definir qué hacer la adición, multiplicación por escalar, el tamaño y los límites para tu conjuntos). Si usted hace esto, entonces usted puede definir un derivado.

Answer 3

Puesto que usted tiene una secuencia finita de conjuntos, un discreto derivado sería apropiado. Para una función de $f:\mathbb Z\to\mathbb R$ discreto derivada es $\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$.

Para una función de $f:\mathbb Z\to\cal{P}(X)$ (el juego de poder de cualquier conjunto $X$) se podría definir $\Delta f(n)=f(n+1)\setminus f(n)$. Si $f(n)\subset f(n+1)$ todos los $n$, esto se vería como una definición natural de una discreta derivados.

También se podría tratar de definir un no-discretas derivados, pero va a ser un tipo diferente de objeto. Para un conjunto $A\subset\mathbb R^n$, vamos a $\chi_A$ ser su función característica. Esta característica de la función puede ser considerada como una medida (o de distribución). Ahora para una función de $f:\mathbb R\to\cal{P}(\mathbb R^n)$ se podría definir la derivada como $$ f'(x)=\lim_{h\to0+}\frac1h(\chi_{f(x+h)}-\chi_{f(x)}) $$ si el límite existe. El límite se toma como una medida o de una distribución, no como una función o un conjunto.

Por ejemplo, si $\eta:\mathbb R\to\mathbb R$ es suave y $n=1$, podemos considerar el conjunto de valores de la función $f(x)=(-\infty,\eta(x))$. Entonces la derivada es la distribución (o firmado medida) $f'(x)=\eta'(x)\delta_{\eta(x)}$.