Transformación de una serie en una integral con respecto a la medida de recuento

Question

Agradecería mucho que alguien me ayudara a entender el porqué de esto con una explicación paso a paso (es decir, de forma argumentalmente completa) :

$$ \sum_{k=1}^{n} {\frac {n} {k^2+nk+1}} = \int \frac {n} {x^2+nx+1} \mathbb{1}_{[1, n]}(x) dm(x) $$ con $ m = \sum_{k = 0}^{+\infty} \delta_k $ . Gracias

Answer 1

En primer lugar, hay que darse cuenta de que $$ \int f\,\mathrm d m=\sum_{k=0}^\infty \int f\,\mathrm d\delta_k $$ para cualquier función integrable $f$ . Esto puede conseguirse mediante un argumento estándar, es decir, buscando funciones sencillas y ampliándolas después. Si $f(x)=n/(x^2+nx+1)$ entonces

$$ \int f(x) \mathbf{1}_{[1,n]}(x)\,\mathrm dm(x)=\sum_{k=0}^\infty \int f(x)\mathbf{1}_{[1,n]}(x)\,\mathrm d\delta_k(x)=\sum_{k=0}^\infty f(k)\mathbf{1}_{[1,n]}(k), $$ donde hemos utilizado que $\int f\,\mathrm d\delta_k=f(k)$ que se establece por el hecho de que $f=f(k)$ casi seguro con respecto a $\delta_k$ . Por último, utilizamos que $\mathbf{1}_{[1,n]}(k)=0$ para $k=0$ y $k\geq n+1$ y obtener $$ \int f(x) \mathbf{1}_{[1,n]}(x)\,\mathrm dm(x)=\sum_{k=1}^n f(k) $$ que es lo que queremos.