Para ordinales $\alpha<\beta$ decimos $\alpha<_{el}\beta$ si existe una incrustación elemental con dominio $L_\beta$ y punto crítico $\alpha$ .
Es $<_{el}$ ¿Transitivo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
EDIT: Si el codominio $N$ puede ser infundada, entonces la respuesta es sí. (Aquí si $\kappa=\mathrm{crit}(j)$ entonces esto significará que $\kappa\subseteq N$ pero podría ser que $N$ es infundada y $\kappa$ es exactamente la parte bien fundada del codominio, en cuyo caso $\kappa\notin N$ .)
Por dejar $\kappa_0<\beta_0=\kappa_1<\beta_1$ sean ordinales y $j_i:L_{\beta_i}\to N_i$ sea elemental (para $i=0,1$ ) con $\mathrm{crit}(j_i)=\kappa_i$ . Sea $U_0$ sea algún ultrafiltro no principal derivado de $j_0$ (dejar $x\in N_0$ tal que $N_0\models$ " $\alpha\in x\in j_0(\kappa_0)$ "para cada $\alpha<\kappa_0$ y que $U_0$ sea el filtro sobre $\kappa_0$ derivado de $x$ ). Entonces $U_0$ es un $L_{\beta_0}$ -ultrafiltro sobre $\kappa_0$ que es $L_{\beta_0}$ - $\kappa_0$ -completo (es decir, cerrado bajo longitud ${<\kappa_0}$ -intersecciones de secuencias $\left<X_\alpha\right>_{\alpha<\gamma}\in L_{\beta_0}$ ). Y porque $\kappa_1=\mathrm{crit}(j_1)$ , $\kappa_1$ es un cardinal (regular) en $L_{\beta_1}$ . Por lo tanto $\mathcal{P}(\kappa_0)\cap L_{\beta_1}\subseteq L_{\beta_0}=L_{\kappa_1}$ . Pero entonces $U_0$ también es un $L_{\beta_1}$ -ultrafiltro sobre $\kappa_0$ que es $L_{\beta_1}$ - $\kappa_0$ -completa. Por lo tanto $N=\mathrm{Ult}(L_{\beta_1},U_0)$ y $j:L_{\beta_1}\to N$ el mapa de ultrapotencia, entonces $j$ es elemental y $\mathrm{crit}(j)=\kappa_0$ .
EDIT 2: Por otro lado, si se requiere que el codominio esté bien fundado, y $0^\sharp$ existe, la respuesta es no. Porque dejemos $\kappa_0$ ser el menos $L$ -indiscernible y dejar $\pi:L_{\omega_1}\to L_{\omega_1}$ ser elemental con $\mathrm{crit}(\pi)=\kappa_0$ . (Aquí $\omega_1$ es el calculado en $V$ .)
Existe una $\sigma:L_{\kappa_0}\to L_{\kappa_0}$ . Porque hay un elemento $\sigma':L_{\kappa_\omega}\to L_{\kappa_\omega}$ donde $\kappa_\omega$ es el $\omega$ th $L$ -indiscernible, por ejemplo el que tiene $\sigma'(\kappa_n)=\kappa_{n+1}$ . Pero la existencia de $\sigma'$ es forzado sobre $L$ por $\mathrm{Coll}(\omega,\kappa_\omega)$ y, por tanto, por indiscernibilidad, la existencia de un $\sigma$ como se ha dicho se fuerza sobre $L$ por $\mathrm{Coll}(\omega,\kappa_0)$ y, por tanto, existe una incrustación de este tipo $\sigma$ en $V$ .
Así que dejar $\kappa=\mathrm{crit}(\sigma)$ entonces $\kappa<_{\mathrm{el}}\kappa_0<_{\mathrm{el}}\omega_1$ . Pero reclamo $\kappa\not<_{\mathrm{el}}\omega_1$ . Ya que desde $\kappa<\kappa_0$ , $\kappa$ no es un $L$ -indiscernible. Pero si $j:L_{\omega_1}\to L_{\lambda}$ es elemental (donde $\lambda$ es algún ordinal) entonces $\mathrm{crit}(j)$ es un $L$ -indiscernible. (Este es un hecho estándar. La clave es que si $U$ es el ultrafiltro normal derivado de $j$ entonces $\mathrm{Ult}(L,U)$ está bien fundada).
Estas observaciones dejan abierta la versión en la que se requiere que el codominio esté bien fundado, pero $0^\sharp$ no existe.
