Soy estudiante de Informática. Acabo de terminar un curso de álgebra lineal. He obtenido 75 puntos sobre 100 en el examen final. Conozco bien el álgebra lineal. Como programador, me cuesta entender cómo el álgebra lineal ayuda a la informática.
¿Puede alguien aclararme este tema?
La página Codificación de Matrix: Álgebra lineal a través de aplicaciones informáticas (véase también esta página ) puede ser útil en este caso.
En la segunda página se lee, entre otras cosas
En esta clase, aprenderá los conceptos y métodos del álgebra lineal, y cómo utilizarlos para pensar en los problemas que surgen en la informática.
Supongo que has estado dando un curso estándar de álgebra lineal, sin referencia a las aplicaciones en tu campo de interés. Aunque esto es una práctica habitual, creo que es preferible un enfoque en el que se mezcle la teoría con las aplicaciones. Esto es seguramente lo que hice cuando tuve que enseñar Matemáticas 101 a estudiantes de Economía, hace unos años.
El álgebra lineal se aplica a muchas áreas del aprendizaje automático. He aquí un pequeño conjunto de ejemplos.
Máquinas de vectores de apoyo encontrar el mejor hiperplano de separación entre dos conjuntos de vectores. El problema de optimización minimiza una función objetivo que se expresa más claramente utilizando el álgebra lineal, los algoritmos de minimización se resuelven a menudo en el espacio dual utilizando el álgebra lineal, y las pruebas relativas a los algoritmos implican álgebra lineal.
Muchos algoritmos de grafos de propagación de etiquetas semisupervisados pueden expresarse como una optimización de fórmulas que implican la Matriz laplaciana .
Agrupación espectral separa los puntos de datos en grupos de puntos relacionados encontrando los valores propios de la matriz laplaciana de un gráfico que tienen vectores propios pequeños.
Las redes neuronales utilizan el álgebra lineal de varias maneras. Por ejemplo, las capas de redes neuronales densamente conectadas realizan una multiplicación de matrices/tensores para propagar valores entre ellas.
Los algoritmos de optimización convexa, que se utilizan en todo el aprendizaje automático, utilizan el álgebra lineal. El algoritmo más común es BFGS de baja memoria .
Los algoritmos de optimización utilizados para problemas no convexos, como AdaGrad se formulan e implementan a menudo utilizando el álgebra lineal.
PageRank (que utiliza matrices estocásticas y vectores propios en su núcleo) es posiblemente una de las aplicaciones más útiles de la informática https://en.wikipedia.org/wiki/PageRank
Por lo que he entendido, PageRank no es más que un buscador iterativo de punto fijo, siendo la idea principal que se comienza con algunos y luego mejorarla iterativamente al convolucionarla con los pesos de las aristas. Se puede ver esto como la búsqueda de la $1$ -eigenvector de una matriz estocástica $A$ iterativamente aplicando $A$ repetidamente a un vector arbitrario; ¡pero este punto de vista no es necesario para la implementación! El álgebra lineal sólo resulta útil si se quiere analizar rigurosamente la eficacia del método. Si el álgebra lineal no existiera, el PageRank podría haberse inventado fácilmente sin ella.
@darijgrinberg sí, este procedimiento iterativo se conoce como el "método de la potencia" introducido por von Mises para encontrar los valores propios y (crucialmente para PageRank) los vectores propios. Puede que me encuentre en la minoría de los matemáticos que consideran que las matemáticas aplicadas son un lenguaje útil y comprendo que la resolución de problemas es más importante que la construcción de teorías. Pero, ¿podemos separarlas? ¿Debemos ignorar la mentalidad que obtenemos al estudiar temas fundacionales como el álgebra lineal al resolver problemas en tecnología? El ajuste fino del PageRank es un doloroso acierto sin Álgebra Lineal y Perron-Frobenius.
Álgebra se utiliza en informática de muchas maneras: álgebra booleana para evaluar rutas de código, códigos de corrección de errores, optimización de procesadores, diseño/optimización de bases de datos relacionales, etc.
Cálculo de matrices se utilizan en la programación informática de muchas maneras: gráficos, modelado del espacio de estados, aritmética, lógica empresarial ad hoc, etc.
El álgebra lineal como subdisciplina suele enseñarse de dos maneras: desde un aspecto computacional de las cosas, que se centra en las matrices, sus propiedades y las operaciones con matrices; o, algebraicamente, donde los mapeos lineales se tratan como estructuras algebraicas, y se estudian, por ejemplo, las relaciones de teoría de grupos que surgen.
En cualquier caso, no tendrá que esforzarse demasiado para encontrar situaciones en las que sean necesarios los conocimientos de álgebra lineal teórica o de matemáticas matriciales.
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Las transformaciones lineales tienen muchas aplicaciones en gráficos.
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@user10444 ¿puedes darme algunos ejemplos?
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Una buena forma de representar los grafos es en forma de matriz de adyacencia. Muchos algoritmos utilizan esta representación matricial y las operaciones matriciales para manipular el grafo. Los grafos son absolutamente fundamentales para la informática. La programación no es informática.