Obtener el valor de la variable de Logaritmo?

Question

Tengo la siguiente ecuación.

$$ x = \left(\frac{1}{-2 \log_{10}\left(9 + \frac{46}{x}\right)}\right)^2 $$

No estoy muy familiarizado con Logarithm.

¿Cómo puedo obtener el valor de $x$ de esta ecuación?

Answer 1

Sea $x = \dfrac1{9y^2},$ entonces $$3y = 2\log_{10}(9(1+46y^2)).\tag1$$ Si $y=2,$ entonces $RHS\approx6.44\approx LHS.$

Así que

$\log_{10}(9(185+46(y^2-4))) = \log_{10}1665 + \log_{10}\left(1+\dfrac{46}{285}(y^2-4)\right) =\dfrac1{\ln10}\left(\ln1665+\ln\left(1+\dfrac{46}{285}(y^2-4)\right)\right)\approx\dfrac1{\ln10}\left(\ln1665+\dfrac{46}{285}(y^2-4)\right),$

y esto permite obtener $y$ aproximadamente a partir de la ecuación cuadrática $$y^2-2ay + b = 0,$$ donde $$a = \dfrac{855}{184}\ln10\approx 10.700,\quad b = \dfrac{285}{46}\ln1665 - 4 \approx 41.957.$$ Por lo tanto, $$y= a +\sqrt{a^2-c} \approx2.1833,$$ $$\boxed{x\approx0.0233}.\tag2$$

Por otro lado, la cuestión igualdad permite aplicar el método de iteración para el cálculo de la raíz con la precisión arbitraria.

Utilizando $(2)$ como aproximación inicial, fácil de obtener: $$x_0 = 0.0233,\quad x_1 \approx 0.0229934,\quad x_2 \approx 0.0229137,\quad x_3 \approx 0.0228929,\quad x_4\approx 0.228874,\quad x_5 \approx 0.228860, \quad x_6\approx 0.228857\dots$$

Answer 2

No veo una respuesta analítica aparte de observar que será cierto en x=0 ya que el término Log tenderá a infinito cuando x tienda a 0.

Numéricamente es sencillo e incluso Excel, utilizando GoalSeek, puede darte el valor x = 0,023 (3 s.f.). Eso es resolver:

$$ x - \left(\frac{1 }{-2 \log_{10}\left( 9 + \frac{46}{x }\right)}\right)^2 = 0$$

Se puede ver fácilmente que para x mayor que este valor (x > 0,023):

$$ x > \left(\frac{1 }{-2 \log_{10}\left( 9 + \frac{46}{x }\right)}\right)^2$$ desde

$$ \left(\frac{1 }{-2 \log_{10}\left( 9 + \frac{46}{x }\right)}\right)^2 \to \left(\frac{1 }{-2 \log_{10}( 9 )}\right)^2 \text{ as } x\to\infty $$

[Perdón por el formato]

Podrías demostrarlo de forma más completa mostrando que el gradiente del lado derecho es siempre menor que 1 cuando x > 0,023 .

Suponiendo que x tiene que ser un número real, la ecuación es indefinida entre x = -46/9 y x = 0. De todos modos, la parte derecha de tu ecuación no puede ser negativa para x real.

Answer 3

Para $x>0$ escriba la ecuación $$x = \left(\frac{1}{-2 \log_{10}\left(9 + \frac{46}{x}\right)}\right)^2$$ como $$\dfrac{1}{-2\sqrt{x}}=\log_{10}\left(9 + \frac{46}{x}\right)=\dfrac{1}{\ln10}\ln\left(9 + \frac{46}{x}\right)$$ o $$\dfrac{\ln10}{-2\sqrt{x}}=\ln\left(9 + \frac{46}{x}\right)=\ln9+\ln\left(1 + \frac{46}{9x}\right)$$ Se podría encontrar una aproximación con la serie $$\ln(1+z)=z-\dfrac{1}{2}z^2+\dfrac{1}{3}z^3-\dfrac{1}{4}z^4+\dfrac{1}{5}z^5+\cdots$$ ¡consiguiendo algunas condiciones!

Answer 4

$x\log^2(9+\frac{46}{x})=\frac{1}{4}$

$[\sqrt x\log(9+\frac{46}{x})]^2=[\log(9+\frac{46}{x})^{\sqrt x}]^2=\frac{1}{4}$

$\log (9+\frac{46}{x})^\sqrt x=±\frac{1}{2}$

$(9+\frac{46}{x})^\sqrt x= 10^{±\frac{1}{2}}$

$(9+\frac{46}{x})^\sqrt x= 10^{+\frac{1}{2}}=3.162..$

$(9+\frac{46}{x})^\sqrt x= 10^{-\frac{1}{2}}=0.316$

Ahora por ensayo y error puedes encontrar la solución.

Answer 5

Como sabes, no existe una forma cerrada.

$\displaystyle f(y):=\frac{2\sqrt{46}}{3}\left(\log_{10}9 + \log_{10}(1+y^2)\right)$

Puede utilizar, por ejemplo, la siguiente iteración:

$\displaystyle y_0:=15\enspace\enspace$ (aquí se puede utilizar cualquier número real para empezar)

$\displaystyle y_{n+1}:=f(y_n)\enspace$ y $\enspace\displaystyle y=\lim\limits_{n\to\infty}y_n$

$\displaystyle x=\frac{46}{9y^2}$