Su afirmación no es cierta.
Como contraejemplo, construyamos un $\kappa$ -como modelo. Un modelo de aritmética (o de cualquier estructura ordenada) es $\kappa$ -como, si tiene tamaño $\kappa$ pero todos sus segmentos iniciales tienen un tamaño inferior a $\kappa$ .
Se puede construir un $\kappa$ -como modelo $M\models\text{PA}$ para cualquier $\kappa$ incluyendo singular $\kappa$ utilizando iterativamente el teorema de MacDowell-Specker, que afirma que todo modelo de aritmética tiene una extensión final elemental adecuada (y por tanto tiene una de la misma cardinalidad). En concreto $M_0\models\text{PA}$ sea cualquier modelo contable de aritmética, y construya una torre de extensiones finales $$M_0\prec_e M_1\prec_e\dots\prec_e M_\alpha\prec_e M_{\alpha+1}\prec_e\dots\prec_e M$$ donde en las etapas sucesivas aplicamos el teorema de MacDowell-Specker, eligiendo $M_{\alpha+1}$ tenga el mismo tamaño que $M_\alpha$ y en las etapas límite tomar uniones. Sea $M=\bigcup_{\alpha<\kappa}M_\alpha$ sea el modelo en la fase $\kappa$ que será $\kappa$ -ya que los segmentos iniciales están contenidos en los distintos $M_\alpha$ que tienen un tamaño $|\alpha\cdot\omega|$ que es inferior a $\kappa$ .
De ello se deduce que $\kappa$ orden-incrusta en $\langle M,<\rangle$ ya que añadimos nuevos puntos en la parte superior en cada etapa, pero $\kappa+1$ no se incrusta, ya que ningún segmento acotado de $M$ tiene tamaño $\kappa$ . Así que su característica $s(M,<)$ será $\kappa+1$ que no es un cardenal regular. Así que este es un contraejemplo.
Usted pidió literatura, y parece que hay mucho trabajo sobre $\kappa$ -como los modelos:
