¿Por qué el intervalo espacio-tiempo es cuadrado?

Question

La ecuación del intervalo espacio-temporal es ésta:

$$\Delta s^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-(c\Delta t)^2$$

Dónde, $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ y $\Delta t$ representan las distancias a lo largo de varias coordenadas según un observador, y $\Delta s$ es el intervalo espacio-temporal. Todos los observadores están de acuerdo en el intervalo espacio-tiempo, es constante. Mi pregunta es ¿por qué es cuadrado? Si tuviéramos en ecuación como esta:

$$\Delta s'=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-(c\Delta t)^2$$

$\Delta s'$ también sería constante. Tampoco sería imaginario. Tendría unidades de $[length]^2$ en lugar de $[length]$ sin embargo.

¿Hay alguna razón teórica o práctica por la que definamos el intervalo espacio-tiempo basándonos en el cuadrado, o es sólo para que se parezca al teorema de Pitágoras/dar unidades más sencillas o algo totalmente distinto?

Answer 1

Tiene razón cuando señala que cualquier función de $\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - \Delta t^2$ será constante y acordada por todos los observadores. Así que podríamos definir $\Delta s$ para ser su coseno... si todo lo que nos interesaba era obtener un invariante.

También tienes razón cuando señalas el tema de las dimensiones. El tiempo se mide en centímetros luz, y la distancia a lo largo de los ejes x,y,z en centímetros. Entonces la longitud se mide en centímetros, y también el tiempo.... Entonces el lado derecho tiene unidades cm $^2$ y, por lo tanto, también lo hace el lado izquierdo. El uso del coseno u otras funciones similares, como la función de identidad que usted sugiere, produciría una cantidad que ni siquiera tiene las unidades de longitud (y por lo tanto, no podría ser el tiempo adecuado).

Ahora bien, las definiciones son arbitrarias, por lo que se podría definir que Ps es igual a $\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - \Delta t^2$ si quieres, y puedes darle el nombre que quieras. Pero ¿podrías expresar las leyes fundamentales de la Física en términos de esa cantidad? Es una requisito del principio de relatividad que sea un invariante, y tanto Ps como cos(Ps) lo cumplirían, pero es deseable que nos facilite la vida en nuestras fórmulas, ya que hacer Física ya es bastante difícil. Hay razones importantes por las que queremos utilizar la función raíz cuadrada en lugar del coseno o en lugar de la función identidad en la que insiste una de las otras respuestas.

Hay algo más que hacer que se parezca al Teorema de Pitágoras o que se parezca a la física prerrelativista. Estas razones no se hacen evidentes hasta que se llega a la Relatividad General, o al menos a la Geometría Diferencial. Esta es tu pregunta, reformulada: ¿Por qué queremos estudiar una cantidad invariante con dimensiones de longitud? (Que es lo mismo que el tiempo).

La respuesta es que queremos ser capaces de definir $s$ , el tiempo propio, o, como lo expreso, "la longitud de un camino". Estará dada por una integral de línea $s = \int ds $ a lo largo de la trayectoria, y será invariable para todos los observadores. Para un observador que se desplace por esa trayectoria, le parecerá que es el tiempo transcurrido. Ahora bien, es bastante básico que si primero transcurren 2 cm de tiempo, y luego otros 3, el tiempo total transcurrido es de 5 cm. Así que necesitamos una cantidad aditiva . Ni el coseno ni el Ps son aditivos, como muestran los ejemplos sencillos, pero si definimos $ds^2 = dx^2+ dz^2+dy^2-dt^2$ entonces será aditivo, por el análogo no euclidiano de mayor dimensión del Teorema de Pitágoras. por eso se produce la elevación al cuadrado, y efectivamente se está elevando al cuadrado una cantidad $ds$ y cuando se trata de intervalos finitos a lo largo de líneas rectas, es efectivamente el cuadrado de una cantidad $\Delta s$ definido como $$\Delta s = \sqrt {\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - \Delta t^2}.$$

RESPUESTA CORTA Cuadramos $\Delta s$ para que obtengamos una cantidad aditiva a lo largo de las líneas del mundo.

Answer 2

y s es el intervalo espacio-temporal.

En realidad, muchos (¿la mayoría?) dirán que el intervalo espaciotemporal es $\Delta s^2$ . En otras palabras, $\Delta s^2$ es no el intervalo al cuadrado; es el símbolo para el intervalo.

Dado que esto se ha cuestionado en un comentario, proporciono algunas referencias a continuación:

Bernard Schutz escribe en _La gravedad desde el suelo: Guía de introducción a la gravedad y la relatividad general_ :

Esta es la definición del espacio-tiempo-intervalo. Supongamos que, medidos por un determinado experimentador, dos acontecimientos están separados por un tiempo $t$ y una distancia espacial $x$ . Entonces, en términos de estos números, el intervalo espacio-temporal entre los dos eventos es la cantidad $$s^2=x^2-c^2 t^2.\tag{17.1}$$ Obsérvese que se escribe como el cuadrado de un número $s$ . El intervalo de tiempo del ritmo es la cantidad $s^2$ no $s$ . De hecho, no nos ocuparemos a menudo de $s$ mismo. La razón es que $s^2$ no es siempre positivo, a diferencia de la distancia en el espacio. Si $ct$ es mayor que $x$ en la ecuación 17.1 entonces $s^2$ será negativo. Para evitar tomar la raíz cuadrada de un número negativo, los físicos suelen calcular simplemente $s^2$ y dejarlo así. Sólo debes considerar $s^2$ como un solo símbolo, en lugar de como el cuadrado de algo.

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Robert M. Wald escribe en Espacio, tiempo y gravedad: La teoría del Big Bang y los agujeros negros :

¿Qué información inmediata nos proporciona el intervalo espaciotemporal? Si el intervalo espaciotemporal entre los sucesos A y B es negativo, entonces $t_1$ o $t_2$ es negativo. De ello se desprende que los eventos A y B están relacionados en el tiempo, como se ilustra en la figura 12 $a$ . En este caso es posible que un observador inercial esté presente en los dos eventos A y B. El tiempo transcurrido que dicho observador mediría entre A y B es simplemente la raíz cuadrada de menos el intervalo espaciotemporal, $\Delta t=\sqrt{-\text(interval)}$ .

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Además, desde Intervalos espacio-temporales :

El intervalo es definido por

$$\Delta s^2 = \Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-(c\Delta t)^2 $$

Tenga en cuenta que el símbolo $\Delta s^2$ se suele tomar como una cantidad fundamental cantidad y no el cuadrado de alguna otra cantidad $\Delta s$ .

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Y Sean Carroll escribe en " Notas de clase sobre la relatividad general ":

El intervalo se define como $s^2$ y no la raíz cuadrada de esta cantidad .

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¿Es que una razón teórica o práctica por la que definimos el intervalo espacio-temporal basado en el cuadrado

Teóricamente, el intervalo es el producto punto (interno) de Minkowski de un cuatro-vector de desplazamiento consigo mismo

$$\Delta s^2 = x^{\mu}x_{\mu}$$

que es invariante bajo la transformación de Lorentz. Esto es análogo a la longitud al cuadrado del vector de desplazamiento tridimensional

$$l^2 = \mathbf x \cdot \mathbf x $$

Sin embargo, el producto interior de Minkowski no es positivo definido; el producto interior puede ser positivo o negativo.

En la práctica, el signo del intervalo determina si el cuádruple desplazamiento es temporal o espacial (el intervalo es ligero si el intervalo es cero).

Si el intervalo es similar al tiempo, entonces el tiempo adecuado es

$$\tau = \sqrt{\frac{|\Delta s^2|}{c^2}}$$

Si el intervalo es espacial, la distancia adecuada es

$$\sigma = \sqrt{|\Delta s^2|}$$

Answer 3

¿o es sólo para que se parezca al teorema de Pitágoras...?

Si echas un vistazo a la obra de Einstein "Relatividad: La teoría especial y general", verás en el Anexo I (justo antes de la ecuación (10)) que para derivar la ecuación del intervalo, Einstein realmente comenzó con el Teorema de Pitágoras en 3D, que puso así:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = ct$$

Así mostró el vector de la luz viajando en un espacio tridimensional.

Luego transformó la ecuación de varias maneras, pero el Teorema de Pitágoras fue la fuente de toda la ecuación.

(Y tengo el downvote porque ... recordé la historia? Bueno, supongo que no vale la pena estudiar las fuentes ...)

EDITAR: PyRulez comentó debajo de eso: "Esto no explica realmente por qué el intervalo espacio-tiempo se elevó al cuadrado (sólo las distancias tienen que ser)" .

Bueno, $x$ ( $\Delta x$ ) es una distancia, $y$ es una distancia, $z$ es una distancia y $ct$ - como he mostrado anteriormente (o lo que simplemente se deduce del hecho de que es la velocidad multiplicada por el tiempo) - es también una distancia. Ahora bien, ¿cómo se llama el resultado de sumar y restar distancias (al cuadrado)? Einstein lo llamó "elemento de línea" o "elemento lineal" y escribió en "Los fundamentos de la teoría general de la relatividad" (p. 119):

"La magnitud del elemento lineal perteneciente a los puntos del continuo cuatridimensional en proximidad infinita, la llamamos ds".

Si tenemos un continuo y sumamos/resta lo que llamamos distancias en este continuo, entonces debemos obtener una distancia como resultado.

Answer 4

La distancia euclidiana más corta entre tres puntos, a saber 1,2,3, resulta que $dist(1,3)=dist(1,2)+dist(2,3)$ .

donde $dist(x,y)$ es el vector entre los puntos x e y.

Ahora bien, por la experiencia cotidiana sabemos que el espacio en sí mismo, sin el tiempo, es euclidiano.

Ahora bien, esta relación de linealidad debe trasladarse al espacio-tiempo. ¿Por qué?

Porque si hay tres eventos simultáneos para un observador , entonces su distancia espacio-temporal debe ser igual a la distancia euclidiana y por lo tanto seguirá la condición de linealidad.

Así que esperamos que El intervalo espacio-temporal entre cualquier evento a,b y c también debe seguir la relación

$dist^* (a,c)=dist^* (a,b)+dist^* (b,c) $

donde $dist^*$ es el vector de distancia del intervalo espacio-temporal.

que se seguirá sólo si la unidad del intervalo de espacio es la longitud y no la longitud $^2$ .

Esta relación de linealidad también facilita las matemáticas y nos permite hacer cosas en la relatividad especial similares a las de los días de la pre-relatividad, como definir la velocidad, la energía cinética y el momento de una manera similar a como lo hizo Newton y siguen el mismo tipo de adición vectorial/escalar, respectivamente, como lo hicieron en los días de la pre-relatividad.

Ahora bien, si se sigue haciendo todo de la misma manera como definir el impulso para ser $p=$ $m$ x (nueva métrica) $/$ tiempo adecuado y energía para tener unidades $p^2/2m$ .

Donde nueva métrica denota la métrica a ser $\Delta s'$ en la pregunta.

No tendrás las relaciones como la conservación de la energía, la conservación del momento para mantenerse en la misma forma matemática que solían hacer antes en la mecánica de la pre-relatividad.

Por lo tanto, o bien tratar la métrica de Minkowski para ser de las dimensiones $length$ o cambiar completamente la forma de definir el momento, la energía y todo lo anterior a la relatividad para que su teoría siga siendo coherente con el universo.

Esta última parece una tarea más ardua que la primera. En resumen : .

Nuestras ecuaciones conservan su antigua forma matemática anterior a la relatividad es la razón principal por la que tomamos el intervalo espacio-tiempo como unidades de longitud. También nuestra distancia sigue siendo una cantidad vectorial.

Answer 5

Una de las razones, entre otras, es que si una distancia negativa es tan buena como una distancia positiva (es decir, se puede utilizar una distancia negativa con una dirección igual que una distancia positiva con la dirección opuesta) entonces $s^2$ deja claro ese hecho porque en el mundo en el que se trabaja con cuadrados (como la ecuación que has puesto), una distancia Real con cualquiera de los dos signos es igual de buena porque ambos salen igual.