Es bien sabido que la suma ordinal no es conmutativa (por ejemplo $\omega+1\neq 1+\omega$ ), pero es asociativo. Mi pregunta se refiere a un nuevo tipo de suma definida como: $$a\oplus b = \text{max}\{a+b,b+a\}$$ Esta suma es obviamente conmutativa, pero ¿es asociativa? No encuentro un contraejemplo, pero tampoco puedo demostrar que lo sea.
Muchas gracias.
Esto no es asociativo.
$$\begin{align}a\oplus(b\oplus c)&=\max\{a+(b\oplus c),(b\oplus c)+a\}\\ &=\max\{a+\max\{b+c,c+b\},\max\{b+c,c+b\}+a\}\\ &=\max\{a+b+c,a+c+b,b+c+a,c+b+a\} \end{align}$$ y $$\begin{align}(a\oplus b)\oplus c&=\max\{(a\oplus b)+c,c+(a\oplus b)\}\\ &=\max\{\max\{a+b,b+a\}+c,c+\max\{a+b,b+a\}\}\\ &=\max\{a+b+c,b+a+c,c+a+b,c+b+a\} \end{align}$$ Así, por ejemplo $$ \omega^2\oplus(1\oplus\omega)=\omega^2+\omega+1$$ et $$ (\omega^2\oplus1)\oplus\omega=\omega^2+\omega$$
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Véase también: es.wikipedia.org/wiki/Oraritmética_rdinal#Operaciones_naturales
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He aquí otro tipo no relacionado pero interesante de suma y multiplicación ordinal: es.wikipedia.org/wiki/Nimber Esto confiere a los números ordinales todas las propiedades de un campo algebraicamente cerrado (excepto, claro está, que los números ordinales no son un conjunto).