¿Cuándo convergen las integrales impropias?

Question

Estoy estudiando para un examen, y me estoy confundiendo sobre cómo saber si una integral impropia es convergente o no. Sé que si una función $f$ no tiene límite en $[a,b]$ entonces $f$ no es integrable en $[a,b]$ . Sin embargo, cuando se consideran integrales impropias, esta regla desaparece. Por ejemplo, $f(x) = \log(x)$ no tiene límite en $(0,1]$ pero la integral impropia $\int_0^1 \log(x) \,dx = -1$ . ¿Existe alguna regla válida para las integrales impropias que permita saber rápidamente si convergen o divergen?

Tengo esta función $f = \begin{cases} \frac{1}{x} & x \in (-1,1), x \not= 0\\ 0 & x = 0 \\ \end{cases}$

y estoy tratando de determinar si $f$ es integrable en $(-1,1)$ . Me cuesta decidir si lo es o no. Intuitivamente, si la integral existe creo que debería ser $0$ pero me cuesta calcular directamente la integral. ¿Puedo decir que $\int_{-1}^1 f \,dx= \int_{-1}^0 f \,dx + \int_0^1 f \,dx$ y luego desde $f$ es localmente integrable en $[-1,0)$ et $(0,1]$ aplica la definición de integral impropia para obtener que $\int_{-1}^0 f \,dx + \int_0^1 f \,dx = \lim_{c \to 0^-} \log|c| + \lim_{k \to 0^+} \log(k) = -\infty$ .

¿Cuál de estas respuestas tiene sentido?

Answer 1

Tu intuición es correcta.

Aplicando la definición obtendrías la respuesta correcta, aunque has cometido un error de signo: deberías obtener $(+\infty) + (-\infty)$ por lo que la integral es indefinida.

(tenga en cuenta que no se trata de un formulario de límite indeterminado -- la integral es realmente la suma de los dos límites, y por tanto tenemos una operación aritmética indefinida)

Aparte: el " Valor principal de Cauchy "de la integral existe y es cero.