Resumiendo $1+\cos(\theta)+\cos(2\theta) +\cdots + \cos(n\theta)$

Question

En primer lugar, me gustaría reconocer que ya hay soluciones a esta pregunta en este foro. Sin embargo, repito la pregunta aquí porque mi solución no me acaba de llegar como esas otras soluciones y me pregunto si estoy haciendo algo mal.

Sé que tomar $z\in \mathbb{C}$ s.t. $|z|=1$ et $\arg(z) = \theta$ obtenemos $z=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ . Entonces por el Teorema de DeMoivre obtenemos $z^n= (\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$ y vemos que la suma $1+\cos(\theta)+\cos(2\theta) +\cdots + \cos(n\theta)$ es igual a $\operatorname{Re}(z^0+z^1+\cdots+z^n)$ (llámalo $S$ ).

A partir de ahí, utilizando sumas geométricas, $S=\frac{z^{n+1}-1}{z-1}$ . Para encontrar $\operatorname{Re}(S)$ Estoy multiplicando la parte superior e inferior por $\overline{z-1}$ para obtener $S=\frac{(z^{n+1}-1)*(\overline{z-1})}{(z-1)*(\overline{z-1})}$ .

Aquí es donde tengo problemas. Ampliar $z$ en $\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ Consigo que el denominador sea igual a $2-2\cos(\theta)$ (y cualquier otra variante de esto usando identidades trigonométricas). Sin embargo, esto no parece alinearse con ninguna de las otras respuestas estándar que estoy encontrando en línea (que en su mayoría implican un $\sin(\frac{\theta}{2})$ en el denominador).

Me preguntaba si alguien podría indicarme si me he equivocado en mi proceso o dónde. ¿Hay otra manera de manejar esta suma (sin dejar de utilizar el Teorema de DeMoivre)?

Answer 1

$$\frac{z^{n+1}-1}{z-1}=\frac{(z^{n+1}-1)\overline{(z-1)}}{|z-1|^2}\tag{$ \ast $}$$

El denominador es real, por lo que hay que separar el numerador en partes reales e imaginarias.

$$(z^{n+1}-1)=(\cos((n+1)\theta)-1)+i\sin((n+1)\theta)\tag1$$$$\overline{(z-1)}=(\cos\theta-1)-i\sin\theta\tag2$$

Multiplica (1) y (2) y extrae la parte real.

La parte real de la expresión en $(\ast)$ es

$$\frac{(\cos((n+1)\theta)-1)(\cos\theta-1)+\sin((n+1)\theta)\sin\theta}{(\cos\theta-1)^2+\sin^2\theta}$$

La solución que vio con $\theta/2$ en el fondo probablemente simplificó el denom como $2(1-\cos\theta)$ y utilizó la identidad $\cos(x)=\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2)=1-2\sin^2(x/2)=2\cos^2(x/2)-1$

El numerador también puede simplificarse expandiéndolo y utilizando las identidades trigonométricas que expresan $\cos x\cos y$ et $\sin x\sin y$ como sumas de $\sin$ et $\cos$

Answer 2

El método más sencillo utiliza el notación exponencial esta suma es la parte real de $$S=1+\mathrm e^{i\theta}+\mathrm e^{2i\theta}+\dots++\mathrm e^{ni\theta},$$ que es la suma de una progresión geométrica con razón común $+\mathrm e^{i\theta}$ Por lo tanto \begin{align} S&=\frac{\mathrm e^{(n+1)i\theta}-1}{\mathrm e^{i\theta}-1}=\frac{\mathrm e^{\tfrac{(n+1)i\theta}2}\Bigl(\mathrm e^{\tfrac{(n+1)i\theta}2}-\mathrm e^{-\tfrac{(n+1)i\theta}2}\Bigr)}{\mathrm e^{\tfrac{i\theta}2}\Bigl(\mathrm e^{\tfrac{i\theta}2}-\mathrm e^{-\tfrac{i\theta}2}\Bigr)}\\ &=\mathrm e^{\tfrac{ni\theta}2}\,\frac{\mathrm e^{\tfrac{(n+1)i\theta}2}-\mathrm e^{-\tfrac{(n+1)i\theta}2}}{\mathrm e^{\tfrac{i\theta}2}-\mathrm e^{-\tfrac{i\theta}2}}=\mathrm e^{\tfrac{ni\theta}2}\,\frac{\sin\frac{(n+1)\theta} 2}{\sin\frac\theta 2} \end{align}

y la parte real no debería ser muy difícil de determinar ahora