A y B tienen el mismo espacio de filas si y sólo si son equivalentes en filas

Question

Sé que si $A$ et $B$ son equivalentes en fila entonces tienen el espacio de fila porque las operaciones elementales de fila no cambian el espacio de fila.

No veo cómo probar que si $A$ et $B$ tienen el mismo espacio de fila, entonces son equivalentes en fila. Acabo de darme cuenta de que si $A$ et $B$ tienen el mismo espacio de filas, entonces existen matrices $C$ et $D$ tal que $A = CB$ et $B = DA$ . A partir de ahí, debería demostrar que $C, D$ son invertibles, pero no sé cómo hacerlo. ¿Puedes ayudarme desde aquí?

Answer 1

Decimos que dos matrices $A, B$ son equivalentes en fila si es posible transformar $A$ en $B$ mediante una de las siguientes operaciones elementales de fila:

• Intercambio: Intercambia dos filas de una matriz.
• Escala: Multiplica una fila de una matriz por una constante distinta de cero.
• Pivote: Añadir un múltiplo de una fila de una matriz a otra fila.

Las matrices $C$ et $D$ de las que hablabas son sólo una composición finita de estas 3 operaciones. Trate de demostrar que estas operaciones son invertibles, a continuación, utilizar el hecho de que una composición finita de operaciones invertibles es invertible.