Forma geométrica de Hahn Banach

Question

Sea $E$ es un espacio normativo. $\varnothing \neq A \subset E$ es un conjunto abierto y convexo. $M$ es el subespacio de $E$ . Supongamos que $A \cap M = \varnothing$ . Entonces existe un hiperplano cerrado $H$ tal que $M \subset H$ et $H \cap M= \varnothing$

Veo la primera forma geométrica de Hahn-Banach: "Dejemos $A \subset E$ et $B \subset E$ sean subconjuntos convexos no vacíos tales que $A \cap B= \varnothing$ . Supongamos que uno de ellos es abierto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa $A$ et $B$ ".

¿Se utiliza para demostrar la proposición anterior?

Answer 1

Según la primera forma geométrica de Hahn-Banach, $\exists l\in E^\ast\setminus\{0\}$ , $c\in\mathbb{R}$ s.t. \begin{eqnarray} \forall x\in A, y\in M \quad l(x)\leq c \leq l(y). \end{eqnarray} Entonces tenemos $l(M)=\{l(0)\}$ de la segunda desigualdad anterior. Por lo tanto $H:=l^{-1}(l(0))$ Lo hemos hecho.