Demostración del teorema de Sard - Utilización del teorema de la función implícita para construir una nueva representación de coordenadas

Question

Lo que sigue es parte de la demostración del teorema de Sard de Introduction to Smooth Manifolds de John Lee. Me cuesta entender el segundo párrafo del paso 1.

Así que suponiendo que $\partial F^1 / \partial x^1(a)\neq 0 $ ¿cómo definimos nuevas coordenadas suaves $(u,v)=(u,v^2,\dots , v^m)$ en algún barrio $V_a$ de $a$ en $U$ por $u=F^1, v^2 = x^2 ,\dots ,v^m=x^m?$ Creo que se trata de alguna forma del teorema de la función implícita, pero a partir del teorema enunciado en el texto, no puedo averiguar cómo podemos construir tal gráfico de coordenadas. Además, en términos de estas coordenadas ¿cómo F tiene la representación de coordenadas $$F(u,v^2, \dots, v^m) = (u,F^2(u,v),\dots ,F^n(u,v))?$$

Probablemente se trate de aplicaciones sencillas del teorema, pero me cuesta mucho entenderlo formalmente. Le agradecería mucho que me ayudara.

Answer 1

Se trata de una aplicación del teorema de la función inversa. Definir $$ \Phi(x^1,\dots,x^m) = (F^1(x^1,\dots,x^m),x^2,\dots,x^m) $$ y denotamos las coordenadas en el codominio por $u,v^2,\dots,v^m$ . El diferencial de $\Phi$ en $\mathbf{a} = (a^1,\dots,a^m)$ es $$ d\Phi|_{(a^1,\dots,a^m)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F}{\partial x^1}(\mathbf{a}) & \frac{\partial F}{\partial x^2}(\mathbf{a}) & \dots & \frac{\partial F}{\partial x^m}(\mathbf{a}) \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix} $$ y así desde $\frac{\partial F}{\partial x^1}(\mathbf{a}) \neq 0$ la diferencial es invertible en $a$ para poder invertir $\Phi$ cerca de $a$ . Llame a la inversa $$G = G(u,v^2,\dots,v^m) = G(u,\mathbf{v}) = \left(G^1(u,\mathbf{v}), \dots G^m(u,\mathbf{v}) \right). $$ Entonces $$ (\Phi \circ G)(u,\mathbf{v}) = \left( F^1(G^1(u,\mathbf{v}),\dots,G^m(u,\mathbf{v})), G^2(u,\mathbf{v}),\dots,G^m(u,\mathbf{v}) \right) = \\ (u,v_2,\dots,v_m). $$

Esto implica que

$$ (F \circ G)(u,\mathbf{v}) = \\ \left( F^1(G^1(u,\mathbf{v}), \dots, G^m(u,\mathbf{v})), F^2(G^1(u,\mathbf{v}), \dots, G^m(u,\mathbf{v})),\dots, F^n(G^1(u,\mathbf{v}),\dots,G^n(u,\mathbf{v})) \right) \\ = \left( u, F^2(G^1(u,\mathbf{v}),\mathbf{v}), \dots F^n(G^1(u,\mathbf{v}),\mathbf{v}) \right).$$

Así que si abusamos de la notación y escribimos $F(u,\mathbf{v})$ para $F \circ G$ y análogamente para las coordenadas de $F$ entonces tenemos $$ F(u,v_1,\dots,v_m) = \left( u, F^2(u,\mathbf{v}), \dots, F^n (u,\mathbf{v}) \right). $$