pdf de la potencia de las variables de rayleigh

Question

Estoy tratando de calcular la pdf de la potencia de una variable aleatoria distribuida rayleigh. Por lo tanto $X$ distribuirse como Rayleigh $$ X \sim \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}, x\geq 0 $$
deje $Y=X^{-\alpha}$ con $\alpha \geq 1$ La cuestión, al calcular el pdf de $Y$ es que hay una singularidad con $x=0$ para lo cual $1/x$ diverge. ¿Cómo puedo solucionarlo? ¿Hay algún resultado conocido que pueda utilizar?

Answer 1

Tal vez haya pasado por alto la contribución del exponente; la densidad de $Y$ debe acercarse $0$ como $x \downarrow 0$ (y en cualquier caso debería integrarse en $1$ ).

EDIT: Para cualquier $x > 0$ , $$ {\rm P}(Y \leq x) = {\rm P}(X^{-\alpha} \leq x) = {\rm P}(X^\alpha \ge 1/x) = 1 - {\rm P}(X^\alpha \le x^{-1}) = 1 - {\rm P}(X \le x^{ - 1/\alpha } ). $$ Por lo tanto, la función de distribución de $Y$ para $x > 0$ por $$ F_Y (x) = 1 - F_X (x^{ - 1/\alpha }), $$ donde $F_X$ es la función de distribución de $X$ . Por lo tanto, el pdf de $Y$ para $x > 0$ por $$ f_Y (x) = f_X (x^{ - 1/\alpha }) \alpha^{-1} x^{-1/\alpha - 1}, $$ donde $f_X$ es el pdf de $X$ . Así, $$ f_Y (x) = \frac{{x^{ - 1/\alpha } }}{{\sigma ^2 }}\exp \bigg( - \frac{{x^{ - 2/\alpha } }}{{2\sigma ^2 }}\bigg)\alpha ^{ - 1} x^{ - 1/\alpha - 1} = \frac{1}{{\alpha \sigma ^2 }}x^{ - 2/\alpha - 1} \exp \bigg( - \frac{{x^{ - 2/\alpha } }}{{2\sigma ^2 }}\bigg). $$ En $\int_0^\infty {x^{ - 2/\alpha - 1} \,dx} = \infty $ debido a la singularidad en $0$ la contribución del término exponencial implica obviamente que $\lim _{x \to 0^ + } f_Y (x) = 0$ (de ahí $f_Y$ no tiene una singularidad en $0$ ).

Answer 2

La distribución de $X$ se caracteriza por el hecho de que, para cada $x\ge0$ , $$ P(X\ge x)=\exp(-ux^2),\quad u=1/(2\sigma^2). $$ Ahora, para cada $y$ , $[Y\le y]=[X^{-a}\le y]=[X\ge y^{-1/a}]$ de ahí $$ P(Y\le y)=\exp(-u/y^{2/a}). $$ La función de densidad de probabilidad es la derivada de la función de distribución acumulativa, por lo tanto $$ f_Y(y)=\frac{2u\exp(-u/y^{2/a})}{ay^{1+2/a}}=\frac{\exp(-1/(2\sigma^2y^{2/a}))}{a\sigma^2y^{1+2/a}}. $$ Se ve que $f_Y(y)\to0$ cuando $y\to0^+$ y cuando $y\to+\infty$ .

(Pero recordemos que la densidad de una variable aleatoria no negativa puede ser ilimitada, por ejemplo se puede tener $f(y)\to+\infty$ cuando $y\to0^+$ .)