Equivalencia entre secciones del haz de pullback y elevaciones en el diagrama conmutativo correspondiente

Question

Sea $\pi: P \to B$ denotan un principal $G$ -bundle over base $B$ y que $f: B' \to B$ sea un mapa continuo desde otro espacio $B'$ a $B$ .

He estado leyendo Stephen Mitchell's Notas sobre haces principales y espacios clasificatorios . En la página 3, dice que las secciones del haz de pullback $f^{*}P \to B'$ están en correspondencia biyectiva con las elevaciones del diagrama

Ahora, entiendo que esto encaja en un diagrama conmutativo mayor, a saber

donde $\text{pr}_2$ es la proyección sobre el segundo factor (pensando, como es habitual, en el haz pullback como $f^{*}P = \{ (b', p) \in B' \times P ~|~ f(b') = \pi(p) \}$ ).

Esto sugiere que dada una sección $s' : B' \to f^{*}P$ se puede construir la elevación definiendo $\widetilde{f} = \text{pr}_2 \circ s'$ .

Pregunta : ¿Y a la inversa? Es decir, dado un ascensor $\widetilde{f}: B' \to P$ que encaje en el diagrama conmutativo anterior, ¿cómo se construye una sección (local) de $\pi' : f^{*}P \to B'$ ?

En el libro de texto, `` Notas de clase sobre topología algebraica, '' de Davis y Kirk [cf. pág. 168], se afirma que el problema de la sección transversal para los haces de pullback es equivalente al llamado problema del levantamiento relativo. Por un lado, la existencia de un cuadrado conmutativo es equivalente a que el objeto de la esquina superior izquierda sea isomorfo al haz de pullback (esto también se menciona en las notas de Mitchell antes citadas). Sin embargo, sin recurrir a una trivialización local, ¿hay alguna forma de entender la correspondencia biyectiva reivindicada?

Answer 1

Considere el mapa $s': B' \to B'\times P$ dada por $s'(b') = (b', \tilde{f}(b'))$ .

En $\tilde{f}$ es una elevación de $f$ a través de $\pi$ tenemos $\pi\circ\tilde{f} = f$ Así que $\pi(\tilde{f}(b')) = (\pi\circ\tilde{f})(b') = f(b')$ es decir $s'(b') \in f^*P$ . Por lo tanto, podemos considerar $s'$ como mapa $s' : B' \to f^*P$ .

Tenga en cuenta que $\pi'(s'(b')) = \pi'(b', \tilde{f}(b')) = b'$ Así que $s'$ es una sección de $\pi' : f^*P \to B'$ .

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He aquí otro enfoque. Considere los mapas $\operatorname{id}_{B'} : B' \to B'$ et $\tilde{f} : B' \to P$ . Por el propiedad universal del pullback existe un mapa único $s' : B' \to f^*P$ tal que $\pi'\circ s' = \operatorname{id}_{B'}$ (es decir $s'$ es una sección de $\pi' : f^*P \to B'$ ) y $\operatorname{pr}_2\circ s' = \tilde{f}$ . Además, estas dos igualdades implican que $s'(b') = (b', \tilde{f}(b'))$ como arriba.