¿Las matemáticas circulares en la parte inferior? Lo que está en la parte inferior de las matemáticas?

Question

Estoy tratando de entender qué es la matemática es realmente construido. Yo pensaba que la lógica matemática fue la base de todo. Pero a partir de la lectura de un libro en la lógica matemática, el uso de "="(igual a-sign), funciones y relaciones.

Ahora es el "=" tomado como indefinido? He visto que se ha definido en términos de la identidad de la relación.

Pero con el fin de hablar sobre las funciones y las relaciones que necesita la teoría de conjuntos. Sin embargo, la teoría de conjuntos que parece ser una parte de la lógica matemática.

¿Significa esto que (ingenuo) la teoría de conjuntos viene antes de sentential y el predicado de la lógica? Es (ingenuo)la teoría en la parte inferior absoluta, donde podemos definir las relaciones y funciones, y la eqality relación. Y luego viene sentential lógica y, a continuación, la lī ogica?

Estoy un poco confundido porque cuando tomé un curso de introducción, hemos tenido un poco de lógica antes de conjunto de la teoría. Pero ahora veo en otro libro de introducción a las pruebas de que la teoría es en un capítulo antes de lógica. Entonces, ¿qué es en el fondo/de inicio de las matemáticas, la lógica o de la teoría de conjuntos?, o es circular en la parte inferior?

Puede ser esto ¿cómo es en la parte inferior?

ingenuo set-teoría de la $\rightarrow$ sentential lógica de $\rightarrow $ lī ogica de $\rightarrow$ axiomático set-teoría(ZFC) $\rightarrow$ matemáticas

(Pero el problema con esta explicación es que parece que algunos ingenuos-teoría de las pruebas de usar la lógica...)

(Las flechas no son "lógicas" flechas.)

explicación sencilla del problema:

un libro sobre la lógica de los usos en el inicio: funciones, relaciones, conjuntos de pares ordenados, "="

un libro sobre la teoría de conjuntos utiliza en el inicio: deducciones lógicas como esta: "$B \subseteq$", significa que cada elemento de B está en A, por lo que si $C \subseteq B, B \subseteq$, una prueba puede ser "puesto que cada elemento de C es en B, y cada elemento de B está en A, cada elemento de C es: $C \subseteq$". Pero esto es de primer orden de la lógica? ($(c \rightarrow b \wedge b \rightarrow a)\rightarrow (c\rightarrow a)$).

Por lo tanto, ambos comenzaron a unos de otros?

Answer 1

La mayoría de conjunto de teorías, tales como ZFC, requieren de un conocimiento de base de la lógica de primer orden fórmulas (como cadenas de símbolos). Esto significa que requieren de la aceptación de los hechos de la cadena de manipulaciones (que es esencialmente equivalente a la aceptación de la aritmética de números naturales!) La lógica de primer orden no requiere la teoría de conjuntos, pero si quieres probar algo acerca de la lógica de primer orden, necesitas algo más fuerte marco, a menudo se llama una meta teoría/sistema. La teoría de conjuntos es una de esas marco más firme, pero no es la única posible. También se podría utilizar un orden superior de la lógica, o alguna forma de teoría tipo, tanto de los que no tienen nada que ver con los juegos.

La circularidad viene sólo si usted dice que usted puede justificar el uso de la lógica de primer orden o de la teoría de conjuntos o de cualquier otro sistema formal por demostrar ciertas propiedades sobre ellos, porque en la mayoría de los casos se utiliza un fuerte sistema meta de probar esa meta teoremas, que plantea la pregunta. Sin embargo, si utiliza un débil sistema meta para probar alguna meta teoremas acerca de los sistemas más fuertes, entonces usted podría considerar la posibilidad de que la justificación más razonable, y este es, de hecho, en el campo llamado Inverso de las Matemáticas.

La consistencia de un sistema formal siempre ha sido la preocupación. Si un sistema formal es inconsistente, entonces nada puede ser probado y así se vuelve inútil. Uno podría esperar que podamos utilizar un débil sistema de demostrar que un sistema más fuerte es consistente, por lo que si estamos convencidos de la consistencia de los más débiles del sistema, podemos estar convencidos de que la consistencia de la más fuerte. Sin embargo, como la incompletitud de Gödel teoremas, esto es imposible si tenemos la aritmética en los naturales.

Así que el tema de las inmersiones directamente a la filosofía, porque cualquier prueba en cualquier sistema formal ya será una secuencia finita de símbolos de un alfabeto finito de tamaño al menos dos, así que simplemente hablar acerca de una prueba requiere de la comprensión de secuencias finitas, que (casi) requiere que los números naturales a la modelo. Esto significa que cualquier sistema meta lo suficientemente potente como para hablar de pruebas e 'útil' suficiente para nosotros para demostrar meta teoremas en ella (Si usted es un Platónico, usted podría tener un sistema formal que simplemente tiene todas las verdades como axiomas. Es completamente inútil.) será capaz de hacer algo equivalente a la aritmética en los naturales y por lo tanto sufren de incompletitud.

Hay dos partes principales en la "circularidad" en Matemáticas. La primera es la comprensión de la lógica, incluyendo el condicional y la igualdad. Si usted no entiende lo que "si" significa que nadie puede explicar a usted porque cualquier intento de explicación será circular. Lo mismo para la "misma". (Hay muchos tipos de igualdad que la filosofía habla.) El segundo es la comprensión de la aritmética de los números naturales incluyendo la inducción. Esto se reduce a la comprensión de la "repetición". Si usted no sabe el significado de "repetir" o "de nuevo" o de otras formas, la explicación no puede precisar.

Ahora se plantea la interesante cuestión de cómo podemos aprender de estos básica indefinible conceptos en el primer lugar. Lo hacemos porque tenemos una capacidad innata para reconocer la similitud en la función. Cuando las personas usan palabras en algunas formas constantemente, se puede (inconscientemente) conocer las funciones de las palabras por ver cómo se utilizan y la abstracción de las similitudes en los contextos, la palabra de orden, estructura gramatical y así sucesivamente. Así que aprender el significado de la "misma" y cosas por el estilo que de forma automática.

Answer 2

Lo que se choca su cabeza contra el aquí de la OMI es el hecho de que usted necesita un meta-lenguaje en el principio. Esencialmente en algún momento usted tiene que estar de acuerdo con otras personas lo que sus axiomas y métodos de derivación son y estos conceptos no pueden ser intrínsecas a su modelo.

Por lo general, yo creo que tomar axiomas en lógica proposicional como se entiende, con la idea de que se aplican a los puramente abstractas nociones de frases y símbolos. Usted podría somethimes ver pruebas de los axiomas básicos tales como el Modus Ponens en términos de un meta-lenguaje es decir, no dentro del sistema de la lógica, sino fuera de ella.

Hay mucho de filosófico de forraje a este nivel, ya que realmente necesitamos algún tipo de entendimiento entre las diferentes personas (lenguaje real tal vez o, posiblemente, sólo compartida de las estructuras del cerebro que permiten algún tipo de inherente meta-deducción) para comunicar los axiomas básicos.

Hay cierta confusión adicional en la forma en que estos temas son generalmente enseñado desde la lógica proposicional menudo ser explicado en términos de, por ejemplo, las tablas de verdad, que parece que ya requieren tener algunos métodos para el modelado en el lugar. El hecho real de la OMI es que en el fondo no es una tortuga de comprensión interpersonal que permite captar lo que los axiomas que definen se supone que significa eso y cómo operar con ellos.

De todos modos esa es mi opinión sobre el asunto.

Answer 3

Recuerdo que cuando me enfrenté a este problema en mis primeros días como estudiante. Aquí está un (esperemos) explicación simple, el resultado de algunos años de estudios.

Uno de la primera cosa a entender es que la teoría de conjuntos no es sólo una familia de axiomas, es un sistema formal que es especificado por

• un idioma, que es el conjunto de fórmulas bien formadas
• un conjunto de axiomas, que es un subconjunto de las fórmulas bien formadas
• un conjunto de reglas de inferencia, que puede ser pensado como (meta)operaciones en las fórmulas que permiten construir inductivamente el conjunto de los teoremas de la teoría.

Para ser justos también se podría tratar axiomas como reglas de inferencia (con ninguna hipótesis) y por lo tanto, estima que la teoría de conjuntos como una lógica de su propio sistema. Con el fin de presentar este sistema no necesita ninguna noción de la lógica de primer orden (usted no necesita saber lo que es una interpretación o un modelo para una teoría, usted no necesita saber lo que es una teoría).

Por lo poco que la teoría de conjuntos es una lógica por su propia cuenta. Con el fin de utilizar este sistema (esta lógica) usted no necesita saber lo que la lógica de primer orden. La única cosa que usted necesita saber es cómo utilizar las reglas de inferencia para construir recursivamente el teorema de la teoría, o si usted prefiere, usted necesita saber cómo construir pruebas.

Esta situación es similar a la aritmética se que usted no necesita saber la lógica ecuacional (que es la lógica ecuacional teorías) para hacer calculuations, con el fin de aritmética usted puede simplemente utilizar el cómputo de las reglas (que puede ser visto como reglas de inferencia) para hacer su calculuation (las pruebas) en una forma mecánica.

Así que, desde esta perspectiva se debe tener claro que la lógica matemática (concebido como el estudio de los sistemas formales) no viene de la teoría de conjuntos (cuando es considerado como fundacional de la teoría).

En el otro lado de la lógica matemática es una teoría matemática de los sistemas formales. Se persigue el objetivo de estudiar y demostrar las propiedades abstractas de estos sistemas formales, no simplemente los utilizan. Con el fin de desarrollar una teoría de este tipo se puede proceder de dos posibles maneras:

• ya sea dando una axiomática de la teoría de los sistemas formales: que es una (meta) el sistema formal de la lengua es capaz de expresar las propiedades de los sistemas formales, cuyos axiomas expresar propiedades básicas que estos sistemas han de tener, y cuyas reglas de inferencia permite probar cualquier declaración que debe contener para estos sistemas formales
• o definir qué es un sistema formal debe ser en un meta/fundacionales de la teoría (por ejemplo, la teoría de conjuntos) y, a continuación, utilizar los axiomas y reglas de inferencia de la (meta)de la teoría de demostrar, de las definiciones, de las propiedades que estos sistemas formales tienen.

Desde nuestra mente están muy acostumbrados a pensar en términos de recaudación y desde la teoría de conjuntos es (o debería ser) la teoría formal de la colección la segunda aproximación a la lógica matemática es más atractivo y con esta elección de la lógica matemática en el sentido de convertirse en una segunda naturaleza para la teoría de conjuntos.

Espero que esto ayude, si necesita cualquier aclaración dude en preguntar en los comentarios.

Answer 4

En la parte inferior tiene los axiomas (cosas que se supone que es cierto) y definiciones. En el caso de la teoría de conjuntos, estos podrían ser los axiomas de ZFC y las definiciones que los explican. PA o KP podría ser otra posibilidad.

Necesitamos otro sistema informal (como el inglés) para construir el más bajo de los axiomas. Pero el inglés no es un sistema formal. Podemos fácilmente llegar a la paradoja: El ordinal menor que no es definible mediante [la lógica del sistema] es definible mediante el inglés. Y necesariamente debe existir, ya que sólo hay countably muchas definiciones y una cantidad no numerable de contables de los números ordinales. Por lo tanto, el inglés debe estar de pie en la parte superior de todos los sistemas formales, por lo tanto no puede ser un sistema formal de sí mismo.

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Esto es lo que yo creo que es razonable axiomation y la definición de la lógica (Sí, acabo de hacer esto). Comentarios sobre esto es más que bienvenido.

Axioma 1. Cualquier proposición P $$ tiene valor 0 o el valor 1.

Definición 1. $\neg P$ tiene el valor de 1 si $P$ tiene valor 0, $\neg P$ tiene valor 0 si $P$ tiene el valor 1.

Definición de 2,3,4,5,6. $P \wedge Q$, $P \vee Q$, $P \implica Q$, $P \iff Q$, $x \in S$. Usted sabe en su definición.

Definición 7. La proposición de $\forall x \in S: P(x)$ es verdadera si P(x) es verdadera para todo $x \in S$.

Definición 8. La proposición de $\exists x \in S: P(x)$ es verdadera si P(x) es verdadera para algunos $x \in S$.

El uso de este tipo de herramientas podemos formular los axiomas de ZFC.

Answer 5

Como ya se ha señalado, esto es, de hecho circular. La única cosa que usted puede hacer es fingir que no lo es.

Una simple razón es, por ejemplo: ¿Cómo vas a explicar qué es la prueba? Así, se podría dar una descripción filosofica, pero me resulta que se puede estudiar las pruebas matemáticamente (como las secuencias de fórmulas de satisfacer algunas de las propiedades). Si usted cree, que no es circular, entonces usted tiene que aceptar el "sentido común" está siempre a la derecha por defecto o algo así. Dando filosófica, la descripción es, yo creo, sólo para ocultar el hecho, que es circular.

Pero resulta que esto no es un problema real. Usted ha estado haciendo de matemáticas de toda su vida y que de alguna manera por arte de magia trabajado.

Cuando empezamos a hacer matemáticas rigerously comenzamos con nuestro conocimiento actual, digamos que es "Matemáticas $0$", que se basa en lo que sabemos de la escuela y de "sentido común" y, a continuación, en el interior de la formalización matemática de nuevo como un sistema lógico Matemáticas a $1$". En una lógica supuesto que se acaba de tomar esto más en serio, que en introductery análisis real.

Respecto a la "$=$": En el clásico de matemáticas de la igualdad se define en su lī ogica, como es de $\$ como alguna relación satisfiying algunas reglas. (En otros sabores de las matemáticas, yo los llamo "estructurales" como opuesto a "material", no hay "mundiales" la noción de igualdad y se trabaja con las relaciones de equivalencia en general (o a veces appartness relaciones), pero no ser confundido por esto, no es importante.)

Ah, y una cosa más: "$=$" normalmente no ", literalmente," una relación como en: un subconjunto de un producto cartesiano, simplemente nos gusta pensar de esa manera.