Para lo cual $x \in \mathbb{R}$ es $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{(1+x^2)^n}$ continuo/diferenciable

Question

Para lo cual $x \in \mathbb{R}$ la siguiente función es continua / diferenciable: \begin{align} f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{(1+x^2)^n} \end{align}

Una colección de ideas :

Como sugerencia se da utilizar el serie geométrica . Probando que he encontrado:

1. \begin{align} f(x) := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{(1+x^2)^n} = x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(1-(-x^2))^n} = x^2+1 \end{align} Realmente no veo cómo eso podría ayudarme. Por supuesto. $f(x) = x^2+1$ es continua y diferenciable para todo $x \in \mathbb{R}$ .

2. La serie evidentemente (se deduce de 1.) converge para todo $x \in \mathbb{R}$ con $x^2 > 0$ .

3. Basándome en esto diría que la función es continua y diferenciable para todo $x \in \mathbb{R}$ pero, para ser sincero, eso parece "demasiado simple", así que me temo que estoy haciendo algo mal.

Estaría bien que alguien me ayudara a tener una idea más clara.

Answer 1

Obsérvese que la fórmula de la serie geométrica $\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac1{1-q}$ sólo es aplicable cuando $|q| < 1$ .

Para $x \ne 0$ tenemos que $\left|\frac1{1 +x^2}\right| < 1$ por lo que utilizando la serie geométrica se obtiene

$$f(x) = x^2 \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n = \frac{x^2}{1 - \frac{1}{1+x^2}} = x^2 + 1$$

Por otra parte, para $x = 0$ tenemos $f(0) = 0$ .

Por lo tanto

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & \text{if $x \ne 0$} \\ 0, & \text{if $x = 0$} \end{cases}$$

así que $f$ es continua y diferenciable si y sólo si $x \ne 0$ .

Answer 2

No es una serie de potencias, de ahí que para mí la noción de radio de convergencia no tenga sentido aquí. Sin embargo, puedes utilizar el teorema de la continua/derivada para series. Para demostrar que es continua, se necesita la convergencia normal, pero primero hay que encontrar para qué $x$ esta suma existe. Usted dice $x \in \mathbb{R}$ Tienes un buen presentimiento, pero demuéstralo. La serie tiene términos positivos y necesitas dividir los casos porque el comportamiento de $x^n$ depende de $x>1$ , $x<1$ , $x=1$

• Para $|x|>1$ $$ \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}\underset{(+\infty)}{\sim}\frac{x^2}{x^{2n}} $$ Supongamos que $x \ne 0$ entonces $$ \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}\underset{(+\infty)}{\sim}\frac{1}{x^{2n-2}} $$ que sólo converge para $\left|x\right|>1$ .si $x=0$ entonces converge.

• Si $|x|<1$ $$ \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}\leq \frac{1}{\left(1+x^2\right)^n} $$ que converge. Por lo tanto, no hay problema. Si $x= \pm 1$ no hay problema converge por lo tanto se define en $\mathbb{R}$ . Para $x \in \left[a,b\right]$ en $\mathbb{R}^{*+}$ tienes $$ \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}\leq \frac{b^2}{1+a^2} $$ Por lo tanto, tomando el sup, se tiene convergencia normal en todo conjunto compacto de $\mathbb{R}^{*+}$ y por partity mismo para $\mathbb{R}^{*-}$ para que tenga continuidad en $\mathbb{R}^{*}$ . ¿Qué pasa con $0$ ? Para demostrar que es diferenciable hay que demostrar que la serie de $f'_n$ converge uniformemente a su suma.

Answer 3

El caso $x=0$ es una sutileza importante: es una discontinuidad ya que $f(0)$ es la suma de infinitos ceros.