Hallar el dominio de funciones trigonométricas inversas

Question

Tengo algunas funciones como $\cos(x)$ y $\sin(x)$ por definición. Conozco el dominio de la definición porque se proporciona es en mi curso, pero cuando trato de encontrar el dominio de una función basada en esas funciones, tengo algunos problemas. Específicamente:

• ¿Por qué el dominio de $\sin^{-1}(x)$ igual a $[-1,1]$ ?
• ¿Por qué el dominio de $\tan^{-1}(x)$ igual a $\mathbb{R}$ ?

Answer 1

Si $f\colon A\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es un invertible entonces el dominio de la función inversa $f^{-1}$ es la imagen $f(A)$ de $f$ .

Ejemplo: Restringimos el dominio de la función seno a $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ porque en este intervalo la función seno es estrictamente creciente, y también porque el seno alcanza un máximo y un mínimo en este intervalo. La imagen es $[-1,1]$ . Por tanto, el dominio de la inversa $\arcsin$ es $[-1,1]$ .

Se puede dar un argumento similar para $\tan$ .