$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$ no es diagonalizable

Question

Me gustaría preguntarle sobre este problema que he encontrado:

Demuestre que no existe ninguna matriz T tal que $$T^{-1}\cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\cdot T $$ es diagonal.

En otras palabras nuestra matriz llamémosla A no puede ser diagonalizable. (Siendo A la matriz "entre las T").

He visto lo siguiente: $$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)+\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$ Denotémoslos: $$A=D+N$$ También es fácil ver que $DN =ND$ y $N^{2}=0$ . De ello se desprende que

$(D+N)^{t}=D^{t}+tN = \text{Identity}^{t}+t\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1 & t \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Nota: la expresión algebraica se redujo a esto, ya que todos los términos $N^2$ y superiores son $0$ También $D=\text{Identity}$ .

Pero no veo por qué de aquí se puede deducir (o no) que $A$ no es diagonalizable. Cualquier sugerencia o ayuda se agradece mucho.

Gracias

Answer 1

En este ejemplo tan sencillo, si $A$ es diagonalizable, tenemos:

$D = PAP^{-1} = P(I + N)P^{-1} = PP^{-1} + PNP^{-1} = I + PNP^{-1}$ .

Por lo tanto, se deduce que $PNP^{-1}$ es diagonal.

Supongamos que en lugar de $P$ utilizamos $Q = \frac{1}{\det(P)^2}P$ en su lugar (para que $\det(Q) = 1$ ). Se puede ver fácilmente que $QAQ^{-1} = PAP^{-1} = D$ . Como antes, tenemos $QNQ^{-1}$ como una matriz diagonal. Si:

$Q = \begin{bmatrix}a&b\\c&d \end{bmatrix}$ entonces:

$Q^{-1} = \begin{bmatrix}d&-b\\-c&a \end{bmatrix}$ Así que..:

$QNQ^{-1} = \begin{bmatrix}-ac&a^2\\-c^2&ac \end{bmatrix}$ .

Como esto es diagonal, debemos tener $a = c = 0$ lo cual es imposible ya que contradice la invertibilidad de $Q$ (y por tanto de $P$ ). Por lo tanto, $A$ no puede ser diagonalizable.