Ejemplo de una clase bien ordenada que no es correcta

Question

Actualmente estoy estudiando las clases bien ordenadas en el contexto de Teoría de conjuntos NBG y estoy tratando de encontrar una clase bien ordenada que sea no correcto . He aquí la definición pertinente de la terminología (suponiendo que uno ya esté familiarizado con las clases bien ordenadas):

• Dada una clase $A$ que está ordenada linealmente por $\le$ una subclase $B$ se denomina sección inferior de $A$ si todos los elementos de $B$ son menores que cada elemento de $A$ no en $B$ . Llamamos $B$ a sección inferior adecuada si, además, $B \neq A$ .
• Llamamos clase bien ordenada $A$ correcto si cada sección inferior adecuada de $A$ no es sólo una clase, sino también un conjunto.

Por lo tanto, estoy esencialmente tratando de encontrar una clase bien ordenada que tiene una sección inferior adecuada que es también una clase adecuada. Al principio, pensé inmediatamente en la clase de todos los ordinales $On$ pero resultó ser un error. En este momento, estoy tratando de construir una clase bien ordenada que tiene $On$ como una sección inferior adecuada, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo. Podría alguien darme algunos consejos o sugerir una ruta diferente?

Answer 1

Considere el siguiente orden $\prec$ en $\mathrm Ord$ :

$$\alpha\prec\beta\iff\begin{cases}\beta=0,\alpha>0& \text{or}\\0<\alpha<\beta\end{cases}$$

Entonces $0$ tiene una clase propia de predecesores. No es difícil ver que se trata de una clase bien ordenada.