¿Cómo demostrar si este operador es normal? ¿autoadjunto? ¿unitario?

Question

Consideremos el espacio de Hilbert $H=l_2$ sobre el campo complejo y $A:H\rightarrow H.$

¿Cómo demostrar si este operador es normal? ¿autoadjunto? ¿unitario?

$A(x)=(x_1,0,0,\frac{1}{2}x_4,0,0,0,0,\frac{1}{3}x_9,0,...,0,\frac{1}{n}x_{n^2},0,...)$

¿Podría ayudar, por favor?

Answer 1

Primero debe convencerse de que $A$ está acotado (de hecho es compacto, ya que es el límite de operadores de rango finito). Entonces probablemente debas calcular este adjunto. Consideremos para $x,y \in l^2$ , $(A(x),y) = x_1 \bar{y_1} + \frac{1}{2}x_4 \bar{y_4} + \cdots \frac{1}{n}x_{n^2} \bar{y_{n^2}} + \cdots = (x,A^*(y))$ .

De ello se desprende que $A^*(x) = A(x)$ . De ello se deduce que $A$ también es normal, ya que todos los operadores autoadjuntos son normales. $A$ no puede ser unitario porque no es invertible, es decir, el vector $(0,1,0,0,...)$ no está en su radio de acción.

Otra forma de verlo $A$ es autoadjunta es observar que, dado que es compacta, su espectro consiste únicamente en valores propios (y posiblemente en $0$ ). Pero la inspección muestra que su espectro es sólo $\{1,1/2,1/3,....,0\}$ que es real. Así que $A$ es autoadjunto.