La suavidad es local

Question

Consideremos un mapa $f:M\to R$ donde $M$ es un colector liso. Si cada punto $p\in M$ tiene un barrio $U$ tal que $f|_U$ es suave, demuestre que $f$ es una función suave.

Mi idea es demostrar que dos cartas de coordenadas cualesquiera de dos atlas son compatibles sin problemas (si $f|_U$ es más suave que $f\circ \varphi^{-1}$ es suave para cualquier $\varphi$ del atlas que define la estructura lisa en $U$ ). ¿Es correcto? En caso afirmativo, ¿cómo puedo demostrarlo?

Gracias.

Answer 1

Creo que es mejor demostrar la afirmación por definición. Dado $p\in M$ y $U$ barrio de $p$ tal que $f|_U$ es suave, existen gráficos de coordenadas $(U\cap U_\alpha, \varphi_\alpha|_{U\cap U_\alpha})$ (donde $(U_\alpha, \varphi_\alpha)$ es un gráfico de $M$ ) y $(V,\psi)$ de $p$ y $f|_U(p)=f(p)$ respectivamente, de forma que $\psi\circ f\circ \varphi_\alpha^{-1}|_{U\cap U_\alpha}:\varphi_\alpha(U\cap U_\alpha)\to \psi(V)$ es suave, pero esta es la definición de suavidad de $f:M\to N$ uso de los gráficos $(U\cap U_\alpha, \varphi_\alpha|_{U\cap U_\alpha})$ y $(V,\psi)$ donde $f(U\cap U_\alpha)=f|_U (U\cap U_\alpha)\subset V$ .