¿Cómo puede el espacio vectorial $V\subsetneq W$ pero $V\cong W$ donde $V$ y $W$ no tienen dimensiones finitas?

Question

Sea $V$ y $W$ dos espacios vectoriales. Si tienen dimensión finita, entonces $V\subset W$ y $V$ y $W$ tienen la misma dimensión implicará que $V=W$ . Pero he oído que en las dimensiones infinitas, esto ya no se sostiene en el sentido de que se puede tener esa $V$ es un subespacio propio de $W$ (es decir $V\subsetneq W$ ) y $V$ y $W$ son isomorfas. ¿Podría alguien explicar este hecho, por favor? Porque realmente no entiendo cómo es posible.

Answer 1

Sea $V$ sea un espacio vectorial de dimensión infinita con base $\{v_1,v_2,\dots\}$ y $W$ el subespacio abarcado por $\{v_2,v_3,\ldots\}$ . Entonces $W\subsetneq V$ desde $v_1\notin W$ pero el mapa lineal $T:V\to W$ dada por $T(v_i)=v_{i+1}$ es un isomorfismo.

Answer 2

Un ejemplo estándar es el espacio de polinomios reales $\mathbb{R}[x]$ . Si define un mapa $T:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}[x]$ por $p(x)\to p(x^2)$ entonces es un isomorfismo entre $\mathbb{R}[x]$ y la imagen de $T$ . Sin embargo $T(\mathbb{R}[x])$ es un subespacio propio.

Answer 3

Espacios vectoriales (por ejemplo, sobre $\mathbb{R}$ ) son isomorfas si y sólo si tienen la misma dimensión. La dimensión es la cardinalidad de cualquier base.

Ahora dejemos que $V = R^\mathbb{N}$ . Tomemos cualquier subconjunto infinito estricto $B'$ de la base canónica $B$ de $V$ (por ejemplo, basta con eliminar un elemento de base). A continuación, $|B'| = |B|$ así que $V \cong \operatorname{span}(B')$

Answer 4

Un ejemplo muy sencillo $K$ sea un campo, $W=K[X]$ y $V$ el ideal generado por $X$ , $XK[X]$ . Tienes un isomorfismo: \begin{align} V&\longrightarrow W,\cr X F &\longmapsto F \end{align}