Módulos proyectivos fueron introducidos en 1956 por Cartan y Eilenberg en su libro Álgebra homológica . ¿Alguien sabe por qué han elegido la palabra "proyectivo"? ¿Tiene algo que ver con la noción de proyección?
Respuesta
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El término "proyección" tiene varios significados posibles en álgebra lineal, y son equivalentes a la propiedad de ser un módulo proyectivo.
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Un operador lineal $f \colon {\mathbf R}^n \rightarrow {\mathbf R}^n$ es geométricamente una proyección a un subespacio en algún sistema de coordenadas si y sólo si $f^2 = f$ .
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Para dos espacios vectoriales $V$ y $W$ la función $V \oplus W \rightarrow V$ donde $(v,w) \mapsto v$ se denomina proyección (fuera de la suma directa).
Para un anillo conmutativo $R$ y $R$ -módulo $P$ las siguientes propiedades que abstraen las dos condiciones anteriores son ambas equivalentes a $P$ siendo un módulo proyectivo.
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Hay un $R$ -módulo $F$ y un $R$ -mapa lineal $f \colon F \rightarrow F$ tal que $f^2 = f$ y $f(F) \cong P$ (así $P$ es isomorfo a la imagen de una "proyección").
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Cualquier forma de hacer $P$ como un módulo cociente consiste esencialmente en convertirlo en la imagen de la proyección natural de un módulo de suma directa a uno de sus sumandos directos: si $f \colon M \twoheadrightarrow P$ es cualquier $R$ -entonces existe un $R$ -isomorfismo de módulo $h \colon M \cong P \oplus K$ para algunos $R$ -módulo $K$ tal que $h(m) = (f(m),*)$ para todos $m \in M$ (así $f$ parece el mapa de proyección natural $P \oplus K \rightarrow P$ ).
