$x\over(1-x)$ $y\over(1-y)$ $z\over(1-z)$ >= 8 cuando $x ,y ,z $ son fracciones propias positivas y $x+y+z = 2$

Question

Q. Demuestre que $x\over(1-x)$ $y\over(1-y)$ $z\over(1-z)$ $\geq$ 8 cuando $x ,y ,z $ son fracciones propias positivas y $x+y+z = 2$

Lo que hice: De A.M. G.M. desigualdad,

$(x+y+z)\over3$ $\geq$ $(xyz)^{1/3}$

o, $xyz \leq$ $8\over27$ (Poniendo $x+y+z = 2$ y cortando ambos lados en cubos) -----------1.

Y, $(1-x)+(1-y)+(1-z)\over3 $$ \geq [(1-x)(1-y)(1-z)]^{1/3}$

o, $1/3 \geq [(1-x)(1-y)(1-z)]^{1/3}$ (Poniendo $x+y+z = 2$ )

o, $1\over(1-x)(1-y)(1-z)$ $\geq$ $1\over27$ ----------------------2.

Pero no podemos multiplicar 1. por 2. Ya que los signos de desigualdad son diferentes.

¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Tenga en cuenta que $1 = (x+y+z)/2$ . La desigualdad se convierte en

$$ \frac{xyz}{(y+z-x)(x+z-y)(x+y-z)} \geq 1$$ que equivale a $$ xyz \geq (y+z-x)(x+z-y)(x+y-z)\ \ \ (1)$$ Para ver por qué esto es cierto, aplique tres veces la desigualdad AM-GM:

$$ x = \frac{x+y-z+x+z-y}{2} \geq \sqrt{(x+y-z)(z+x-y)}$$ y los otros dos para $y,z$ . Ahora multiplique los tres y obtendrá $(1)$ .